Показатель адиабаты

Для идеального газа теплоёмкость не зависит от температуры. Соответственно, можно выразить энтальпию как ${\displaystyle H=C_{P}T}$ и внутренняя энергия может быть представлена как ${\displaystyle U=C_{V}T}$ . Таким образом, можно также сказать, что показатель адиабаты — это отношение энтальпии к внутренней энергии:

${\displaystyle \gamma ={\frac {H}{U}}.}$

С другой стороны, теплоёмкости могут быть выражены также через показатель адиабаты (${\displaystyle \gamma }$ ) и универсальную газовую постоянную (${\displaystyle R}$ ):

${\displaystyle C_{P}=\nu {\frac {\gamma R}{\gamma -1}}\qquad }$ и ${\displaystyle \qquad C_{V}=\nu {\frac {R}{\gamma -1}}.}$

Может оказаться достаточно трудным найти информацию о табличных значениях ${\displaystyle C_{V}}$ , в то время как табличные значения ${\displaystyle C_{P}}$ приводятся чаще. В этом случае можно использовать следующую формулу для определения ${\displaystyle C_{V}}$ :

${\displaystyle C_{V}=C_{P}-\nu R,}$

где ${\displaystyle \nu }$  — количество вещества в молях. Для молярных теплоёмкостей, соответственно,

${\displaystyle C_{P}={\frac {\gamma R}{\gamma -1}},\qquad C_{V}={\frac {R}{\gamma -1}}=C_{P}-R.}$

Показатель адиабаты (${\displaystyle \gamma }$ ) для идеального газа может быть выражен через количество степеней свободы (${\displaystyle i}$ ) молекул газа:

${\displaystyle \gamma ={\frac {i+2}{i}}\qquad }$ или ${\displaystyle \qquad i={\frac {2}{\gamma -1}}.}$

Таким образом, для одноатомного идеального газа (три степени свободы) показатель адиабаты равен:

${\displaystyle \gamma ={\frac {5}{3}}\approx 1{,}67,}$

в то время как для двуатомного идеального газа (пять степеней свободы) (при комнатной температуре):

${\displaystyle \gamma ={\frac {7}{5}}=1{,}4.}$

Для многоатомного идеального газа (шесть степеней свободы) показатель адиабаты равен:

${\displaystyle \gamma ={\frac {6+2}{6}}={\frac {4}{3}}\approx 1{,}33.}$

Воздух на земле представляет собой в основном смесь двухатомных газов (около 78 % азота — N₂, и около 21 % кислорода — O₂), и при нормальных условиях его можно рассматривать как идеальный. Двухатомный газ имеет пять степеней свободы (три поступательных и две вращательных степени свободы; колебательная степень свободы не задействована, за исключением высоких температур). Как следствие, теоретически, показатель адиабаты для воздуха имеет величину:

${\displaystyle \gamma ={\frac {5+2}{5}}={\frac {7}{5}}=1{,}4.}$

Это хорошо согласуется с экспериментальными измерениями показателя адиабаты воздуха, которые приблизительно дают значение 1,403 (приведённое выше в таблице).

По мере того, как температура возрастает, более высокоэнергетические вращательные и колебательные состояния становятся достижимыми для молекулярных газов, и таким образом, количество степеней свободы возрастает, и уменьшается показатель адиабаты ${\displaystyle \gamma }$ .

Для реальных газов, как ${\displaystyle C_{P}}$ , так и ${\displaystyle C_{V}}$ возрастают с увеличением температуры, при этом разность между ними остаётся неизменной (согласно приведённой выше формуле ${\displaystyle C_{P}}$ = ${\displaystyle C_{V}+R}$ ), и эта разность отражает постоянство величины ${\displaystyle PV}$ , то есть работы, совершаемой при расширении. Величина ${\displaystyle P\cdot V}$ представляет собой разницу между количествами подведённой теплоты при постоянном давлении и при постоянном объёме. Следовательно, отношение двух величин, ${\displaystyle \gamma }$ , падает при увеличении температуры. См. также удельная теплоёмкость.

Значения, полученные с помощью приближённых соотношений (в частности, ${\displaystyle C_{p}-C_{v}=R}$ ), во многих случаях являются недостаточно точными для практических инженерных расчётов, таких, как расчёты расходов через трубопроводы и клапаны. Предпочтительнее использовать экспериментальные значения, чем те, которые получены с помощью приближённых формул. Строгие значения соотношения ${\displaystyle {\frac {C_{p}}{C_{v}}}}$ может быть вычислено путём определения ${\displaystyle C_{v}}$ из свойств, выраженных как:

${\displaystyle C_{p}-C_{v}\ =\ -T{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}^{2}}{\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}}}\ =\ -T{\frac {{\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)}^{2}}{\frac {\partial P}{\partial V}}}.}$

Значения ${\displaystyle C_{p}}$ не составляет труда измерить, в то время как значения для ${\displaystyle C_{v}}$ необходимо определять из формул, подобных этой. См. здесь^[англ.] для получения более подробной информации о соотношениях между теплоёмкостями.

Вышеприведённые соотношения отражают подход, основанный на развитии строгих уравнений состояния (таких, как уравнение Пенга — Робинсона^[англ.]), которые настолько хорошо согласуются с экспериментом, что для их применения требуется лишь незначительно развивать базу данных соотношений или значений ${\displaystyle C_{v}}$ . Значения могут быть также определены с помощью метода конечных разностей.

Для изоэнтропийного, квазистатического, обратимого адиабатного процесса, происходящего в простом сжимаемом идеальном газе:

${\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constant}},}$

где ${\displaystyle P}$  — это давление и ${\displaystyle V}$  — объём газа.

Поскольку процессы, происходящие в небольших объёмах газа при прохождении звуковой волны, близки к адиабатическим^[6], показатель адиабаты можно определить, измерив скорость звука в газе. В этом случае показатель адиабаты и скорость звука в газе будут связаны следующим выражением:

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {\gamma kT}{m}}}={\sqrt {\frac {\gamma RT}{M}}},}$

где ${\displaystyle \gamma }$  — показатель адиабаты; ${\displaystyle k}$  — постоянная Больцмана; ${\displaystyle R}$  — универсальная газовая постоянная; ${\displaystyle T}$  — абсолютная температура в кельвинах; ${\displaystyle m}$  — молекулярная масса; ${\displaystyle M}$  — молярная масса.

Другим способом экспериментального определения величины показателя адиабаты является метод Клемана — Дезорма, который часто используется в учебных целях при выполнении лабораторных работ. Метод основан на изучении параметров некоторой массы газа, переходящей из одного состояния в другое двумя последовательными процессами: адиабатическим и изохорическим.^[7]

Лабораторная установка включает стеклянный баллон, соединённый с манометром, краном и резиновой грушей. Груша служит для нагнетания воздуха в баллон. Специальный зажим предотвращает утечку воздуха из баллона. Манометр измеряет разность давлений внутри и вне баллона. Кран может выпускать воздух из баллона в атмосферу.

Пусть первоначально в баллоне было атмосферное давление и комнатная температура. Процесс выполнения работы можно условно разбить на два этапа, каждый из которых включает в себя адиабатный и изохорный процесс.

1-й этап:
При закрытом кране накачиваем в баллон небольшое количество воздуха и зажимаем шланг зажимом. При этом давление и температура в баллоне повысятся. Это адиабатический процесс. Со временем давление в баллоне начнёт уменьшаться вследствие того, что газ в баллоне начнёт охлаждаться за счёт теплообмена через стенки баллона. При этом давление будет уменьшаться при постоянном объёме. Это изохорный процесс. Выждав, когда температура воздуха внутри баллона сравняется с температурой окружающего воздуха, запишем показания манометра ${\displaystyle h_{1}}$ .

2-й этап:
Теперь откроем кран 3 на 1—2 секунды. Воздух в баллоне будет адиабатно расширяться до атмосферного давления. При этом температура в баллоне понизится. Затем кран закроем. Со временем давление в баллоне начнёт увеличиваться вследствие того, что газ в баллоне начнёт нагреваться за счёт теплообмена через стенки баллона. При этом снова будет увеличиваться давление при постоянном объёме. Это изохорный процесс. Выждав, когда температура воздуха внутри баллона сравнится с температурой окружающего воздуха, запишем показание манометра ${\displaystyle h_{2}}$ . Для каждой ветви 2-х этапов можно написать соответствующие уравнения адиабаты и изохоры. Получится система уравнений, которые включают в себя показатель адиабаты. Их приближённое решение приводит к следующей расчётной формуле для искомой величины:

${\displaystyle \gamma ={h_{1} \over {h_{1}-h_{2}}}.}$

Недостатком данного метода является то, что процессы быстрого расширения газа в ходе лабораторной работы не являются чисто адиабатическими ввиду теплообмена через стенку сосудов, а рассматриваемый газ заведомо не является идеальным. И хотя полученная в ходе лабораторной работы величина будет заведомо содержать методическую погрешность, всё же существуют различные способы её устранения, например, за счёт учёта времени расширения и количества подведенного за это время тепла.^[8]

• Теплоёмкость
• Удельная теплоёмкость
• Скорость звука
• Термодинамические уравнения^[англ.]
• Термодинамика
• Объёмная теплоёмкость

• Партингтон Дж. Р., Раковский А. В. Курс химической термодинамики / Пер. с англ. Я. В. Герасимова, проработка и дополнения проф. А. В. Раковского. — 2-е изд., стереотипное. — М.—Л.: Госхимтехиздат, 1932. — 383 с.
• Толпыго К. Б. Термодинамика и статистическая физика. — Киев: Изд-во Киевского ун-та, 1966. — 364 с.
• Савельев И. В. Курс общей физики: Молекулярная физика и термодинамика. — М.: Астрель, 2001. — Т. 3. — 208 с. — 7000 экз. — ISBN 5-17-004585-9.