Ортогональная группа
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 9 ноября 2021 года; проверки требуют 7 правок.
Ортогональная группа — группа всех линейных преобразований -мерного векторного пространства над полем , сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму на (то есть таких линейных преобразований , что для любого )[1].
Обозначения и связанные определения
- Элементы ортогональной группы называются ортогональными (относительно
) преобразованиями
, а также автоморфизмами формы
(точнее, автоморфизмами пространства
относительно формы
)[1].
- Обозначается
,
,
и т. п. Когда квадратичная форма не указана явно, то подразумевается форма, задаваемая суммой квадратов координат, то есть выражающаяся единичной матрицей.
- Над полем действительных чисел, ортогональная группа незнакоопределённой формы с сигнатурой (
плюсов,
минусов) где
, обозначается
, см. напр. O(1,3).
Свойства
- В случае, если характеристика основного поля не равна двум, то с
связана невырожденная симметрическая билинейная форма
на
, определенная формулой
- Тогда ортогональная группа состоит в точности из тех линейных преобразований пространства
, которые сохраняют
, и обозначается через
или (когда ясно о каком поле
и форме
идёт речь) просто через
[1].
- Если
— матрица формы
в неком базисе пространства
, то ортогональная группа может быть отождествлена с группой всех таких матриц
с коэффициентами в
, что
[1].
- В частности, если базис таков, что
является суммой квадратов координат (то есть, матрица
единична), то такие матрицы
называются ортогональными.
- Над полем вещественных чисел, группа
компактна тогда и только тогда, когда форма
знакоопределена.
- В этом случае любой элемент из
, для подходящего базиса представляется как блочно-диагональная матрица
- В этом случае любой элемент из
- где R1, ..., Rk — 2х2 матрицы поворотов; теорема вращения Эйлера является частным случем этого утверждения.
Другие группы
Ортогональная группа является подгруппой полной линейной группы GL( ). Элементы ортогональной группы, определитель которых равен 1 (это свойство не зависит от базиса), образуют подгруппу — специальную ортогональную группу
, обозначаемую так же, как и ортогональная группа, но с добавлением буквы «S».
, по построению, является также подгруппой специальной линейной группы
.
См. также
Примечания
Источники
- Попов В. Л. Ортогональная группа // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 81—84.
Ссылки
🔥 Top keywords: Заглавная страницаЯндексЦивилёва, Анна ЕвгеньевнаБотулизмСлужебная:ПоискЧемпионат Европы по футболу 2024Годовщины свадьбыYouTubeГорнин, Леонид ВладимировичЦивилёв, Сергей ЕвгеньевичШевцова, Татьяна ВикторовнаКурбан-байрамЧемпионат Европы по футболу 2020Фрадков, Михаил ЕфимовичБРИКССпортивные игры БРИКС 2024Список умерших в 2024 годуДом Дракона (2-й сезон)Мбаппе, КилианПопов, Павел АнатольевичРоссияСавельев, Олег ГенриховичЧемпионат Европы по футболуЦаликов, Руслан ХаджисмеловичСборная Украины по футболуБриджертоныПацаны (4-й сезон)Путин, Владимир ВладимировичКлеопатраЛепс, Григорий ВикторовичЛукаку, РомелуДом ДраконаГоловоломка 2Криштиану РоналдуТедеско, ДоменикоСборная Румынии по футболуРебров, Сергей СтаниславовичЧикатило, Андрей РомановичСборная Франции по футболу