Оператор Гильберта — Шмидта
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 3 марта 2017 года; проверки требуют 14 правок.
Оператор Гильберта — Шмидта — класс компактных операторов в гильбертовом пространстве
Определение
Пусть - компактный оператор между гильбертовыми пространствами.
Для можно выбрать ортонормированные системы
,
и последовательность неотрицательных чисел
так, что
.
называют оператором Гильберта — Шмидта, если для его
-чисел выполнено неравенство:
.
Класс операторов Гильберта — Шмидта обозначают:
Свойства
- Класс
представляет собой банахово пространство относительно нормы
- Совокупность операторов конечного ранга плотна в
- Пространство
- сепарабельно, если
- сепарабельны
- Если
, то
- ядерный оператор и
- В конечномерном пространстве норма Гильберта — Шмидта совпадает с нормой Фробениуса
- Композиция оператора Гильберта — Шмидта с любым ограниченным оператором является оператор Гильберта — Шмидта
- оператор Гильберта — Шмидта, если найдутся такие ортонормированные базисы
и
в пространстве
и
соответственно, что
. Величину
называют матричным элементом оператора
. Их совокупность образует аналог матрицы линейного оператора. Таким образом, операторы Гильберта — Шмидта — операторы с квадратично суммируемой матрицей.
Скалярное произведение Гильберта — Шмидта
Класс можно естественным образом превратить в гильбертово пространство, если для операторов
ввести скалярное произведение:
, которое вдобавок согласуется с
.
Из этого следует ряд свойств:
- Класс
- сепарабельное гильбертово пространство.
- Пусть
и
- какие-либо ортонормированные базисы в
. Тогда система одномерных операторов
образуют ортонормированный базис в гильбертовом пространстве
Примеры
- Оператор в
является оператором Гильберта — Шмидта тогда и только тогда, когда он является интегральным оператором с квадратично интегрируемым ядром.
- Ядерный оператор является оператором Гильберта — Шмидта
Литература
- А. Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу. — МЦНМО, 2014. — 552 с. — 2000 экз. — ISBN 5-94057-065-8.
- А. Пич. Ядерные локально выпуклые пространства. — МИР, 1967. — 266 с.
- М. Ш. Бирман М. З. Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — Лань, 2010. — 458 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-8114-1076-7.
См. также
🔥 Top keywords: Заглавная страницаЯндексЦивилёва, Анна ЕвгеньевнаБотулизмСлужебная:ПоискЧемпионат Европы по футболу 2024Годовщины свадьбыYouTubeГорнин, Леонид ВладимировичЦивилёв, Сергей ЕвгеньевичШевцова, Татьяна ВикторовнаКурбан-байрамЧемпионат Европы по футболу 2020Фрадков, Михаил ЕфимовичБРИКССпортивные игры БРИКС 2024Список умерших в 2024 годуДом Дракона (2-й сезон)Мбаппе, КилианПопов, Павел АнатольевичРоссияСавельев, Олег ГенриховичЧемпионат Европы по футболуЦаликов, Руслан ХаджисмеловичСборная Украины по футболуБриджертоныПацаны (4-й сезон)Путин, Владимир ВладимировичКлеопатраЛепс, Григорий ВикторовичЛукаку, РомелуДом ДраконаГоловоломка 2Криштиану РоналдуТедеско, ДоменикоСборная Румынии по футболуРебров, Сергей СтаниславовичЧикатило, Андрей РомановичСборная Франции по футболу