Непрерывное вейвлет-преобразование (англ. continuous wavelet transform, CWT) — это преобразование, отображающее данную вещественнозначную функцию
, определенную на временно́й оси переменной
, в функцию
![{\displaystyle \gamma (\tau ,s)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x(t){\frac {1}{\sqrt {s}}}\psi ^{*}\left({\frac {t-\tau }{s}}\right)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7b9c6388982391c7f45e066dece1c81d3abc384)
двух переменных
и
. Здесь
представляет параллельный перенос,
представляет масштаб и
— материнский вейвлет (mother wavelet).
Изначальная функция может быть восстановлена с помощью обратного преобразования
![{\displaystyle x(t)={\frac {1}{C_{\psi }}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\gamma (\tau ,s){\frac {1}{\sqrt {s}}}\psi \left({\frac {t-\tau }{s}}\right)d\tau {\frac {ds}{s^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60c26e0c8d6db6d680b1ecf715e1f30b71f5b915)
где
![{\displaystyle C_{\psi }=2\pi \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\left|\Psi (\zeta )\right|^{2}}{\left|\zeta \right|}}d\zeta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c9e3f9d8998f51576ab86b72b92afadaaec55dc)
называется постоянной допустимости и
— преобразование Фурье от
.Для того, чтобы обратное преобразование было успешным, постоянная допустимости должна соответствовать критерию допустимости
.
Критерий допустимости подразумевает, что
, так что интеграл от вейвлета должен быть равен нулю. Материнский вейвлет (mother wavelet) связан с дочерним вейвлетом (daughter wavelet) следующим соотношением:
.
Одним из применений вейвлет-преобразования является сжатие изображений.
Ссылки
См. также