Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Commutative_diagram_for_morphism.svg/200px-Commutative_diagram_for_morphism.svg.png)
Теория категорий занимает центральное место в современной математике[1], она также нашла применения в информатике[2], логике[3] и в теоретической физике[4][5].Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры существенно опирается на понятия теории категорий.Общекатегорийные понятия также активно используются в языке функционального программирования Haskell[6]. Была создана Саундерсом Маклейном и Самуэлем Эйленбергом.
Определение
Категория — это:
- класс объектов
;
- для каждой пары объектов
,
задано множество морфизмов (или стрелок)
, причём каждому морфизму соответствуют единственные
и
;
- для пары морфизмов
и
определена композиция
;
- для каждого объекта
задан тождественный морфизм
;
причём выполняются две аксиомы:
- операция композиции ассоциативна:
и
- тождественный морфизм действует тривиально:
для
Малая категория
Класс объектов не обязательно является множеством в смысле аксиоматической теории множеств.Категория , в которой
является множеством и
(совокупность всех морфизмов категории) является множеством, называется малой.Кроме того, возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс или даже большую структуру[7].В этом варианте определения категория, в которой морфизмы между двумя зафиксированными объектами образуют множество, называется локально малой.
Примеры категорий
- Set — категория множеств. Объектами в этой категории являются множества, морфизмами — отображения множеств.
- Grp — категория групп. Объектами являются группы, морфизмами — отображения, сохраняющие групповую структуру (гомоморфизмы групп).
- VectK — категория векторных пространств над полем K. Морфизмы — линейные отображения.
- Категория модулей.
Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.
- Top — категория топологических пространств. Морфизмы — непрерывные отображения.
- Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причём между элементами x и y существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда x≤y (разумеется, следует отличать эту категорию от категории частично упорядоченных множеств!).
- Met — категория, объектами которой являются метрические пространства, а морфизмами — короткие отображения.
Коммутативные диаграммы
Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы.Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути.Например, аксиомы теории категорий (ассоциативность композиции и свойство тождественного морфизма) можно записать с помощью диаграмм:
Двойственность
Для категории можно определить двойственную категорию
, в которой:
- объекты совпадают с объектами исходной категории;
- морфизмы получаются «обращением стрелок»:
Принцип двойственности гласит, что для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок, при этом истинность утверждения не изменится.Часто двойственное понятие обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).
Основные определения и свойства
Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм
Морфизм называется изоморфизмом, если существует такой морфизм
, что
и
.Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными.В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.
Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами.Множество эндоморфизмов является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом
.
Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами.Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов по композиции.
Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм
Мономорфизм — это морфизм такой, что для любых
из
следует, что
. Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.
Эпиморфизм — это такой морфизм , что для любых
из
следует
. Композиция эпиморфизмов есть эпиморфизм.
Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом.Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.
Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения соответственно.Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.
Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории — это такой объект, из которого в любой объект категории существует единственный морфизм.
Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.
Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — это такой объект, в который из любого объекта категории существует единственный морфизм.
Объект категории называется нулевым, если он одновременно инициальный и терминальный.
- Пример: В категории Set инициальным объектом является пустое множество
, терминальным — любое множество из одного элемента
.
- Пример: В категории Grp существует нулевой объект — это группа из одного элемента.
Произведение и сумма объектов
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/7/75/Diag_product.gif)
Произведение (пары) объектов A и B — это объект с морфизмами
и
такими, что для любого объекта
с морфизмами
и
существует единственный морфизм
такой, что диаграмма, изображённая справа, коммутативна.Морфизмы
и
называются проекциями.
Двойственно определяется сумма или копроизведение объектов
и
.Соответствующие морфизмы
и
называются вложениями.Несмотря на своё название, в общем случае они могут и не быть мономорфизмами.
Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.
- Пример: В категории Set произведение A и B — это прямое произведение в смысле теории множеств
, а сумма — дизъюнктное объединение
.
- Пример: В категории колец Ring сумма — это тензорное произведение
, а произведение — прямая сумма колец
.
- Пример: В категории VectK (конечные) произведение и сумма изоморфны — это прямая сумма векторных пространств
.
Несложно определить аналогичным образом произведение любого семейства объектов .Бесконечные произведения устроены в общем случае гораздо сложнее, чем конечные.Например, в то время как конечные произведения и копроизведения в VectK изоморфны прямым суммам, бесконечные произведения и копроизведения не являются изоморфными.Элементами бесконечного произведения
являются произвольные бесконечные последовательности элементов
, в то время как элементами бесконечного копроизведения
являются последовательности, в которых лишь конечное число членов — ненулевые.
Функторы
Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру.Точнее,
(Ковариантный) функтор ставит в соответствие каждому объекту категории
объект категории
и каждому морфизму
морфизм
так, что
и
.
Контравариантный функтор, или кофунктор можно понимать как ковариантный функтор из в
(или из
в
), то есть «функтор, переворачивающий стрелки». А именно, каждому морфизму
он сопоставляет морфизм
, соответственным образом обращается правило композиции:
.
Естественные преобразования
Понятие естественного преобразования выражает связь между двумя функторами.Функторы часто описывают «естественные конструкции», в этом смысле естественные преобразования описывают «естественные морфизмы» таких конструкций.
Если и
— ковариантные функторы из категории
в
, то естественное преобразование
сопоставляет каждому объекту
категории
морфизм
таким образом, что для любого морфизма
в категории
следующая диаграмма коммутативна:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Natural_transformation.svg/175px-Natural_transformation.svg.png)
Два функтора называются естественно изоморфными, если между ними существует естественное преобразование, такое что — изоморфизм для любого
.
Некоторые типы категорий
См. также
Примечания
Ссылки
- «Category Theory» in Stanford Encyclopedia of Philosophy (англ.).
- И. Иванов. Нужна ли физикам теория категорий? Элементы (10 сентября 2008).
- Category theory in Haskell (англ.). Дата обращения: 13 марта 2011. Архивировано 23 августа 2011 года.
Литература
- С. Мак Лейн [Maclane S.] Категории для работающего математика . — Москва: Физматлит, 2004.
- С. Мак Лейн [Maclane S.] ГомологияМир, 1966. — Т. 114. — (Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften). . — Москва:
- Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Категории . — 1969. — Т. 06. — (ВИНИТИ — Итоги науки и техники, Алгебра-Топология-Геометрия).
- Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Лекции по теории категорийНаука, 1970. . — Москва:
- Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорийНаука, 1974. . — Москва:
- Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторовМир, 1972. — С. 259. . — Москва:
- Фейс [Faith C.] том 1 // Алгебра — кольца, модули и категории . — Москва: Мир, 1977. — Т. 190. — (Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften).
- Фейс [Faith C.] том 2 // Алгебра — кольца, модули и категории . — Москва: Мир, 1977. — Т. 191. — (Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften).
- Габриель [Gabriel P.], Цисман [Zisman M.] Категории частных и теория гомотопийМир, 1977. — Т. 35. — (Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften). . — Москва:
- Голдблатт [Goldblatt R.] Топосы — категорный анализ логики . — 1983. — Т. 98. — (Studies in logic & foundation of mathematics).
- Фултон Е, Мак-Фёрсон Р. Категорный подход к изучению пространств с особенностями / под ред. Бухштабер В. М.. — 1983. — Т. 33. — (Новое в зарубежной науке, математика).
- Артамонов В. А., Салий В. Н., Скорняков Л. А., Шеврин Л. Н., Шульгейфер Е. Г. Общая алгебраНаука, 1991. — Т. 2. — 480 с. — (Новое в зарубежной науке, математика). — 25 500 экз. — ISBN 5-02-014427-4. . — Москва:
- D. E. Rydeheard, R. M. Burstall. Computational Category Theory (англ.). — New York: Prentice Hall, 1988. — 257 p. — ISBN 0-13-162736-8.
- Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализуМЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-065-8. . — Москва:
- Р. Голдблатт. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logicМир, 1983. — 488 с. . — Москва:
- Родин А. В. Теория категорий и поиски новых математических оснований физики // Вопросы философии. — 2010. — № 7. — С. 67.