Модель Ходжкина — Хаксли

Компоненты электрической схемы, что соответствует модели Ходжкина — Хаксли, изображены на рисунке. В данной схеме каждый компонент возбуждаемой клетки имеет свой биофизический аналог. Внутреннему липидному слою клеточной мембраны соответствует электроёмкость (${\displaystyle C_{m}}$ ). Потенциал-зависимые ионные каналы отвечают за нелинейную электрическую проводимость (${\displaystyle G_{n}}$ , где ${\displaystyle n}$  — отдельный вид ионных каналов) — это означает, что проводимость является потенциал-время-зависимой величиной. Эта составляющая системы, как было показано исследователями позже, реализуется благодаря белковым молекулам, которые образуют потенциал-зависимые ионные каналы, каждый из которых отмечен некоторой вероятностью открытия, величина которой зависит от электрического потенциала (или электрического напряжения) мембраны клетки. Каналы мембранных пор отвечают за пассивную проводимость (${\displaystyle G_{L}}$ , где индекс ${\displaystyle L}$ означает англ. leak — «течь, утечка»). Электрохимический градиент побуждает ионы к движению через мембранные каналы, он показан с помощью источников напряжения с соответствующей электродвижущей силой (${\displaystyle E_{n}}$ и ${\displaystyle E_{L}}$ ), величина которой определяется реверсивным потенциалом^[англ.] для соответствующего вида иона. Ионные транспортёры соответствуют источникам тока (${\displaystyle I_{p}}$ ).

Производная по времени от мембранного потенциала клеточной мембраны (${\displaystyle {\dot {V}}_{m}}$ ) при описанных условиях пропорциональна сумме токов в полной электрической цепи. Она описывается следующим уравнением:

${\displaystyle {\dot {V}}_{m}=-{\frac {1}{C_{m}}}\left(\sum \limits _{i}I_{i}\right),}$

где ${\displaystyle I_{i}}$ означает величину электрического тока, генерируемого отдельным видом ионов.

Электрический ток, проходящий через ионные каналы, может быть математически выражен следующим уравнением:

${\displaystyle I_{i}(V_{m},\;t)=(V_{m}-E_{i})g_{i},}$

где ${\displaystyle E_{i}}$  — равновесный потенциал ${\displaystyle i}$ -го ионного канала. В случае потенциал-зависимых ионных каналов канальная проводимость ${\displaystyle g_{i}}$ является функцией времени и потенциала (электрического напряжения) — ${\displaystyle g_{n}(t,\;V)}$ на рисунке, в то время как пассивная проводимость является величиной постоянной (${\displaystyle g_{L}}$ на рисунке). Ток, генерируемый ионными транспортерами, зависит от вида ионов, который переносит соответствующий транспортёр. Ниже приведено более подробное описание перечисленных величин.

В терминах модели Ходжкина — Хаксли ${\displaystyle g_{n}(t,\;V)}$ , проводимость потенциал-зависимых каналов, описывается следующим образом:

${\displaystyle g_{n}(V_{m},\;t)={\bar {g}}_{n}\varphi ^{\alpha }\chi ^{\beta };}$

${\displaystyle {\dot {\varphi }}(V_{m},\;t)={\frac {1}{\tau _{\varphi }}}(\varphi _{\infty }-\varphi );}$

${\displaystyle {\dot {\chi }}(V_{m},\;t)={\frac {1}{\tau _{\chi }}}(\chi _{\infty }-\chi ),}$

где ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \chi }$ являются константами скорости реакций закрытия и открытия каналов, соответственно. Они численно равны доле от максимально возможной проводимости через данный вид каналов в каждый момент времени при каждой величине мембранного потенциала. ${\displaystyle {\bar {g}}_{n}}$ является максимальным возможным значением проводимости. ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$  — константы, ${\displaystyle \tau _{\varphi }}$ и ${\displaystyle \tau _{\chi }}$  — временны́е константы процессов активации и деактивации каналов, соответственно. ${\displaystyle \varphi _{\infty }}$ и ${\displaystyle \chi _{\infty }}$ является стабилизированными значениями ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \chi }$ при величине времени, стремящейся к бесконечности, и обычно рассчитываются из уравнения Больцмана как функции ${\displaystyle V_{m}}$ .

Для характеристики ионных каналов, последние два уравнения модифицируются для условий, когда на мембране поддерживается постоянная величина электрического потенциала — модификация уравнений Ходжкина — Хаксли, сделанная Марквардтом^{[англ.][2]} . Когда мембранный электрический потенциал поддерживается на постоянном уровне (англ. voltage-clamp), для каждого значения этого потенциала нелинейные уравнения, описывающие пропуск ионов через каналы, редуцируются к линейным дифференциальным уравнениям следующего вида:

${\displaystyle \varphi (t)=\varphi _{0}-\left[(\varphi _{0}-\varphi _{\infty })(1-e^{-t/\tau _{\varphi }})\right];}$

${\displaystyle \chi (t)=\chi _{0}-\left[(\chi _{0}-\chi _{\infty })(1-e^{-t/\tau _{\chi }})\right].}$

Таким образом, для каждого значения мембранного потенциала ${\displaystyle V_{m}}$ , величина электрического тока описывается следующим уравнением:

${\displaystyle I_{n}(t)={\bar {g}}_{n}\varphi ^{\alpha }\chi ^{\beta }(V_{m}-E_{n}).}$

Для аппроксимации кривых, которые генерируют данные уравнения, до значений клеточных токов при фиксированном значении мембранного потенциала используется алгоритм Левенберга — Марквардта^[3][4].

Пассивные каналы отвечают за проницаемость мембраны для ионов в спокойном состоянии (не во время проведения потенциала действия), и ток через них описывается теми же уравнениями, что и для потенциал-зависимых каналов, но при условии постоянной величины проводимости ${\displaystyle g_{i}}$ (${\displaystyle g_{i}=\mathrm {const} }$ ).

Мембранный электрический потенциал генерируется с помощью поддержания концентрационных градиентов ионов, присутствующих в физиологических жидкостях организма, относительно клеточной мембраны. Наиболее важными из белков-транспортёров, которые поддерживают мембранный потенциал, является натриево-кальциевый (транспортирует один ион Са²⁺ внутрь клетки в обмен на три иона Na⁺, транспортируемых наружу), натриево-калиевый (транспортирует один ион Na⁺ наружу в обмен на один ион К⁺ внутрь) и хлорный (транспортирует из клетки наружу ионы Cl⁻)^[5][6].

Модель Ходжкина — Хаксли является одним из важнейших достижений в биофизике и нейрофизиологии XX века. Со временем она была модифицирована в следующих направлениях:

• Основываясь на экспериментальных данных, в неё были инкорпорированы дополнительные виды ионных каналов и транспортёров.
• Основываясь на данных микроскопии высокого разрешения, в уравнение добавлены элементы, характеризующие сложную морфологию отростков нервных клеток (аксонов и дендритов).

Также на общих принципах модели Ходжкина — Хаксли были разработаны несколько моделей, описывающих взаимную активацию и деактивацию в нейронных сетях, а также молекулярную динамику генерации потенциала действия.

• Интерактивный Java-апплет модели Ходжкина — Хаксли. Параметры модели и параметры возбуждения могут меняться; возможно построение диаграмм изменения значений переменных.
• Интерактивный Java-апплет уравнений Ходжкина — Хаксли для численного решения дифференциальных уравнений Ходжкина — Хаксли.
• Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть первая: Сurrents carried BY Sodium AND Potassium ions Through The Membrane Of The Giant AXON Of Loligo.
• Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть вторая: The Components Of Membrane conductance In The Giant Axon Of Loligo.
• Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть третья: The Dual Effect Of Membrane Potential On Sodium conductance In The Giant Axon Of Loligo.
• Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть четвёртая: A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve.
• Neural Impulses: The Action Potential In Action. by Garrett Neske, The Wolfram Demonstrations Project.