Логарифмическое распределение
Логарифмическое распределение в теории вероятностей — класс дискретных распределений. Логарифмическое распределение используется в различных приложениях, включая математическую генетику и физику.
Логарифмическое распределение | |
---|---|
Обозначение | |
Параметры | |
Носитель | |
Функция вероятности | |
Функция распределения | |
Математическое ожидание | |
Мода | |
Дисперсия | |
Производящая функция моментов | |
Характеристическая функция |
Определение
Пусть распределение случайной величины задаётся функцией вероятности:
,
где . Тогда говорят, что
имеет логарифмическое распределение с параметром
. Пишут:
.
Функция распределения случайной величины кусочно-постоянна со скачками в натуральных точках:
где — неполная бета-функция.
Замечание
То, что функция действительно является функцией вероятности некоторого распределения, следует из разложения логарифма в ряд Тейлора:
,
откуда
.
Моменты
Производящая функция моментов случайной величины задаётся формулой
,
откуда
,
.
Связь с другими распределениями
Пуассоновская сумма независимых логарифмических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение. Пусть последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что
. Пусть
— Пуассоновская случайная величина. Тогда
.
Приложения
Логарифмическое распределение удовлетворительно описывает распределение по размерам астероидов в солнечной системе[источник не указан 3008 дней].