Интегральное преобразование Абеля
Интегральное преобразование Абеля — преобразование, часто используемое при анализе сферически или цилиндрически симметричных функций. Названо в честь норвежского математика Н. Х. Абеля. Для функции преобразование Абеля даётся уравнением
Если функция спадает с быстрее чем , то можно вычислить обратное преобразование Абеля:
В обработке изображений преобразование Абеля используется для того, чтобы получить проекцию симметричной, оптически тонкой функции испускания на плоскость. Обратное преобразование используется для восстановления функции по её проекции (напр. фотографии).
Геометрическая интерпретация
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/AbelTransform.png/256px-AbelTransform.png)
Преобразование Абеля в двумерном случае может рассматриваться как проекция осесимметричной функции
вдоль параллельных линий, проходящих на расстоянии
от оси. Согласно рисунку справа, наблюдатель (I) увидит величину
где — осесимметричная функция, изображенная на рисунке при помощи серого цвета. Предполагается, что наблюдатель находится при
и таким образом пределы интегрирования равны
. Все линии наблюдения параллельны оси
.
Замечая, что радиус соотносится с
и
как
, получаем, что
Так как переменная при интегрировании не меняет знака, то подынтегральное выражение (как
, так и выражение для
) является чётной функцией. Поэтому можно записать
Замена переменной на
даёт формулу преобразования Абеля:
Преобразование Абеля можно обобщить на случай большего числа измерений. Особенно интересен случай трёх измерений. В случае осесимметричной функции , где
является радиусом в цилиндрических координатах, можно спроектировать функцию на плоскость, параллельную оси
. Без потери общности можно взять плоскость, параллельную плоскости
. При этом
что является преобразованием Абеля для в переменных
и
.
Частным случаем осевой симметрии является сферическая симметрия. В этом случае имеется функция , где
.
Проекция на плоскость будет иметь круговую симметрию, которую можно записать как
, где
. Производя интегрирование, получим
что опять является преобразованием Абеля для в переменных
и
.
Связь с другими преобразованиями
Преобразование Абеля является членом так называемого цикла Фурье — Ханкеля — Абеля. Например, для случая двух измерений, если обозначить через преобразование Абеля,
— преобразование Фурье и через
— преобразование Ханкеля нулевого порядка, то для функций с круговой симметрией будет выполняться равенство
то есть если применить к одномерной функции сначала преобразование Абеля, а затем преобразование Фурье, то результат будет тот же, как после применения к функции преобразования Ханкеля.