Импликация

В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества ${\displaystyle \{0,1\}}$ . Результат также принадлежит множеству ${\displaystyle \{0,1\}}$ . Вычисление результата производится по простому правилу либо по таблице истинности. Вместо значений ${\displaystyle 0,1}$ может использоваться любая другая пара подходящих символов, например ${\displaystyle \operatorname {false} ,\operatorname {true} }$ или ${\displaystyle F,T}$ или «ложь», «истина».

Правило:

Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, операция ${\displaystyle A\to B}$  — это сокращённая запись выражения ${\displaystyle \neg A\lor B}$ .

Таблицы истинности:

Прямая импликация(от a к b, ${\displaystyle \neg A\lor B}$ ) (материальная импликация^[англ.], материальный кондиционал^[англ.])

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle a\to b,a\leqslant b}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$

• если первый операнд не больше второго операнда, то 1,
• если ${\displaystyle a\leqslant b}$ , то истинно (1).

«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель:

А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0).

В — подчинённый. Он может работать (1) или бездельничать (0).

В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчинённого начальнику.По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчинённый бездельничает.

Обратная импликация (от b к a, ${\displaystyle A\lor (\neg B)}$ )

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle a\leftarrow b,a\geqslant b}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$

• если первый операнд не меньше второго операнда, то 1,
• если ${\displaystyle a\geqslant b}$ , то истинно (1).

Обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).

Отрицание (инверсия, негация) прямой импликации, коимпликация^[5] (${\displaystyle A\land (\neg B)}$ )

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle a\not \to b,a>b}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$

• если первый операнд больше второго операнда, то 1,
• если ${\displaystyle a>b}$ , то истинно (1).

Отрицание (инверсия, негация) обратной импликации, обратная коимпликация (${\displaystyle \lnot A\land B}$ ),разряд займа в двоичном полувычитателе.

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle a\not \leftarrow b,a<b}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$

• если первый операнд меньше второго операнда, то 1,
• если ${\displaystyle a<b}$ , то истинно (1).

Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов.

• Если А, то Б
• Б в том случае, если А
• При А будет Б
• Из А следует Б
• В случае А произойдёт Б
• Б, так как А
• Б, потому что А
• А — достаточное условие для Б
• Б — необходимое условие для А
• А имплицирует Б
• А влечёт Б

Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого.Импликация обозначается символом ${\displaystyle \Rightarrow }$ , и ей соответствует вложение множеств: пусть ${\displaystyle A\subset B}$ , тогда

${\displaystyle x\in A\Rightarrow x\in B.}$

Например, если ${\displaystyle A}$  — множество всех квадратов, а ${\displaystyle B}$  — множество прямоугольников, то,конечно, ${\displaystyle A\subset B}$ и

(a — квадрат) ${\displaystyle \Rightarrow }$ (a — прямоугольник).

(если a является квадратом, то a является прямоугольником).

В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом.

Можно доказать эквивалентность импликации ${\displaystyle A\rightarrow B}$ формуле ${\displaystyle \neg A\lor B}$ (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле ${\displaystyle \neg (A\land \neg B)}$ , которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)).Поэтому любое высказывание можно заменить на эквивалентное ему без знаков импликации.

В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде ${\displaystyle A\rightarrow \nvDash }$ , где ${\displaystyle \nvDash }$  — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.

В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.

В учении о силлогизмах импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание».

В лингвистике под импликацией (от лат. implicāre — вплетать, впутывать) понимается использование в предложении неявных (имплицитных) словесных выражений, в том числе недосказанность в виде упущения одного или нескольких существительных в определительной цепочке^{[источник не указан 43 дня]}. Так, например, А. Д. Швейцер и Б. Н. Климзо в своих трудах для переводчиков с английского языка и на английский^{[каких?]} выделяют 7 типов импликаций, которые надо учитывать: первые должны устранять в своих переводах импликации, неприемлемые в русском языке, а вторым полезно использовать английские импликации с целью компрессии текста.

• Тождество
• Обратная импликация
• Таблица истинности

• Эдельман С. Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
• Игошин В. И. Задачник-практикум по математической логике. — М.: Просвещение, 1986. — 158 с.
• Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.
• Фролов И. С. Элементы математической логики (рус.). — Самара: Самарский университет, 2001.
• Барабанов О. О. Импликация / Труды XI международных Колмогоровских чтений: сборник статей. — Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2013. — С. 49—53.
• Климзо Б. Н. Ремесло технического переводчика. — М.: Р.Валент, 2003. — 288 с. — С. 75—84.
• Швейцер А. Д. Перевод и лингвистика. — М.: Воениздат, 1973.

• Импликация и эквивалентность
• Импликация в учебнике MathIt