Знакопеременная группа

Знакопеременная группа перестановок (подстановок) степени n — подгруппа симметрической группы $S_{n}$ степени $n$ , содержащая только чётные перестановки^[1].

Обычно обозначается $A_{n}$ .

Свойства

Индекс подгруппы знакопеременной группы в симметрической равен 2:
$[S_{n}:A_{n}]=2.$
Знакопеременная группа является нормальной подгруппой симметрической группы (следует из предыдущего утверждения).
Порядок знакопеременной группы равен:
$|A_{n}|=n!/2.$
Знакопеременная группа является коммутантом симметрической группы: $[S_{n},S_{n}]=A_{n}.$
При $n\geq 5$ знакопеременная группа $A_{n}$ является простой.
Знакопеременная группа разрешима тогда и только тогда, когда её порядок не больше 4. Точнее, $A_{2}=\{e\},A_{3}\cong \mathbb {Z} _{3},[A_{4};A_{4}]\cong V_{4}$ - четверной группе Клейна, а при $n\geqslant 5\ [A_{n};A_{n}]\cong A_{n}$ .
Группа $A_{n}$ имеет представление
$A_{n}=\langle s_{3},...,s_{n}|(s_{i})^{3}=1,(s_{i}s_{j})^{2}=1(3\leqslant i\neq j\leqslant n)\rangle$

здесь

s_{i}\to (12i)

.