Закон сохранения электрического заряда

Физическая теория утверждает, что каждый закон сохранения основан на соответствующем фундаментальном принципе симметрии. Со свойствами симметрий пространства-времени связаны законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Законы сохранения электрического, барионного и лептонного зарядов связаны не со свойствами пространства-времени, а с симметрией физических законов относительно фазовых преобразований в абстрактном пространстве квантовомеханических операторов и векторов состояний. Заряженные поля в квантовой теории поля описываются комплексной волновой функцией ${\displaystyle \phi (x)=|\phi (x)|e^{i\psi (x)}}$ , где x — пространственно-временная координата. Частицам с противоположными зарядами соответствуют функции поля, различающиеся знаком фазы ${\displaystyle \psi }$ , которую можно считать угловой координатой в некотором фиктивном двумерном «зарядовом пространстве». Закон сохранения заряда является следствием инвариантности лагранжиана относительно глобального калибровочного преобразования типа ${\displaystyle \phi '=e^{i\alpha Q}\phi }$ , где Q — заряд частицы, описываемой полем ${\displaystyle \phi }$ , а ${\displaystyle \alpha }$  — произвольное вещественное число, являющееся параметром и не зависящее от пространственно-временных координат частицы^[3]. Такие преобразования не меняют модуля функции, поэтому они называются унитарными U(1).^[4][5]

Предположим, что поле описывается комплексной величиной ${\displaystyle \psi }$ (волновая функция) и функция Лагранжа инвариантна относительно калибровочных преобразований ${\displaystyle \psi \to \psi e^{i\alpha }}$ , ${\displaystyle \psi ^{*}\to \psi ^{*}e^{-i\alpha }}$ . При этом преобразовании все физически наблюдаемые величины (например, плотность вероятности ${\displaystyle \psi ^{*}\psi }$ , энергия и импульс) не изменяются. Такое поле можно рассматривать как носитель заряда ${\displaystyle \rho =-i\epsilon \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi }}}}\psi -{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi ^{*}}}}}\psi ^{*}\right)}$ и тока ${\displaystyle s_{k}=-i\epsilon \left({\frac {\partial L}{\partial {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}}}\psi -{\frac {\partial L}{\partial {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x_{k}}}}}\psi ^{*}\right)}$ , которые удовлетворяют уравнению непрерывности:${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\textrm {div}}{\textbf {s}}=0}$ ^[6]

Предположим, что нам известен процесс, нарушающий закон сохранения заряда, в ходе которого, затратив энергию ${\displaystyle E}$ , можно создать заряд ${\displaystyle e}$ . Пользуясь этим процессом, создадим заряд ${\displaystyle e}$ , затратив энергию ${\displaystyle E}$ в клетке Фарадея с потенциалом ${\displaystyle \varphi }$ . Извлечём затем созданный заряд и переместим его подальше от клетки. Получим энергию в виде работы электростатических сил ${\displaystyle e\varphi }$ . Обратим теперь процесс создания заряда и получим ранее затраченную энергию ${\displaystyle E}$ . Повторяя такой процеcc, можно создать вечный двигатель I рода. Следовательно, допущение о возможности нарушения закона сохранения электрического заряда является ложным. Данное рассуждение показывает связь между законом сохранения электрического заряда и предположением о ненаблюдаемости абсолютной величины электрического потенциала.^[7]

Вспомним, что плотность потока электрического заряда есть просто плотность тока. Тот факт, что изменение заряда в объёме равно полному току через поверхность, можно записать в математической форме:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{\Omega }\rho dV=-\oint \limits _{\partial \Omega }{\vec {j}}\cdot d{\vec {S\ }}.}$

Здесь ${\displaystyle \Omega }$  — некоторая произвольная область в трёхмерном пространстве, ${\displaystyle \partial \Omega }$  — граница этой области, ${\displaystyle \rho }$  — плотность заряда, ${\displaystyle {\vec {j}}}$  — плотность тока (плотность потока электрического заряда) через границу.

Переходя к бесконечно малому объёму и используя по мере необходимости теорему Остроградского — Гаусса, можно переписать закон сохранения заряда в локальной дифференциальной форме (уравнение непрерывности):

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\mbox{div}}{\vec {j}}=0.}$

Правила Кирхгофа для токов напрямую следуют из закона сохранения заряда. Объединение проводников и радиоэлектронных компонентов представляется в виде незамкнутой системы. Суммарный приток зарядов в данную систему равен суммарному выходу зарядов из системы. В правилах Кирхгофа предполагается, что электронная система не может значительно изменять свой суммарный заряд.

Наилучшей экспериментальной проверкой закона сохранения электрического заряда является поиск таких распадов элементарных частиц, которые были бы разрешены в случае нестрогого сохранения заряда. Такие распады никогда не наблюдались^[8].Лучшее экспериментальное ограничение на вероятность нарушения закона сохранения электрического заряда получено из поиска фотона с энергией равной половине массы покоя электрона m_ec²/2 ≈ 255 кэВ, возникающего в гипотетическом распаде электрона на нейтрино и фотон — в этом гипотетическом процессе распада электрона предполагаются сохранения импульса, момента импульса, энергии и лептонного заряда:

однако существуют теоретические аргументы в пользу того, что такой однофотонный распад не может происходить даже в случае, если заряд не сохраняется^[11].Другой необычный несохраняющий заряд процесс — спонтанное превращение электрона в позитрон^[12]и исчезновение заряда (переход в дополнительные измерения, туннелирование с браны и т. п.). Наилучшие экспериментальные ограничения на исчезновение электрона вместе с электрическим зарядом и на бета-распад нейтрона без эмиссии электрона: