Вариация поворота кривой — интеграл кривизны кривой по её длине.
Определение
Вариация поворота кривой на плоскости или в пространстве определяется как точная верхняя грань суммы внешних углов вписанной в ломаной.
В случае если кривая замкнута, вписанная ломаная также предполагается замкнутой.
Замечания
- Если гладкая кривая, параметризованная длиной, — её кривизна, то вариация поворота равна интегралу модуля кривизны:
- Вариация поворота гладкой регулярной кривой можно также определить как длину её касательной индикатрисы; то есть кривой образованной единичными касательными векторами .
Свойства
- Теорема Фенхеля о повороте кривой: Вариация поворота любой замкнутой кривой не менее . Более того, в случае равенства кривая является плоской и выпуклой.
- Теорема Фари — Милнора о повороте узла: Вариация поворота любого узла больше .
- Неравенство ДНК. Если замкнутая плоская кривая лежит в выпуклой фигуре с периметром то её длина не превосходит её вариацию поворота.[1]
- Теорема Усова о геодезической: Вариация поворота геодезической на графике выпуклой функции не превосходит её удвоенной константы Липшица.[2]
- Угловая длина замкнутой кривой относительно произвольной точки не превосходит её вариации поворота.[3]
- Вариация поворота кратчайшей на замкнутой выпуклой поверхности ограничена универсальной константой.[4]
Вариации и обобщения
- Для плоских кривых, у кривизны можно определить знак и определить поворот кривой как интеграл кривизны с знаком. Теорема о повороте кривой является дифференциальногеометрическим аналогом теоремы о сумме углов многоугольника.
Примечания
Литература
- Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.
🔥 Top keywords: Заглавная страницаЯндексЦивилёва, Анна ЕвгеньевнаБотулизмСлужебная:ПоискЧемпионат Европы по футболу 2024Годовщины свадьбыYouTubeГорнин, Леонид ВладимировичЦивилёв, Сергей ЕвгеньевичШевцова, Татьяна ВикторовнаКурбан-байрамЧемпионат Европы по футболу 2020Фрадков, Михаил ЕфимовичБРИКССпортивные игры БРИКС 2024Список умерших в 2024 годуДом Дракона (2-й сезон)Мбаппе, КилианПопов, Павел АнатольевичРоссияСавельев, Олег ГенриховичЧемпионат Европы по футболуЦаликов, Руслан ХаджисмеловичСборная Украины по футболуБриджертоныПацаны (4-й сезон)Путин, Владимир ВладимировичКлеопатраЛепс, Григорий ВикторовичЛукаку, РомелуДом ДраконаГоловоломка 2Криштиану РоналдуТедеско, ДоменикоСборная Румынии по футболуРебров, Сергей СтаниславовичЧикатило, Андрей РомановичСборная Франции по футболу