Банахово пространство
Ба́нахово пространство — нормированное векторное пространство, полное по метрике, порождённой нормой. Основной объект изучения функционального анализа.
Банаховы пространства названы в честь польского математика Стефана Банаха , который ввёл это понятие и систематически изучал его в 1920–1922 годах вместе с Гансом Ханом и Эдуардом Хелли. Морис Рене Фреше был первым, кто использовал термин «банахово пространство», а Банах, в свою очередь, затем ввел термин «пространство Фреше». Банаховы пространства первоначально возникли в результате изучения функциональных пространств Гильбертом, Фреше и Риссом в начале века. Банаховы пространства играют центральную роль в функциональном анализе. В других областях анализа изучаемые пространства часто являются банаховыми пространствами.
Примеры
Некоторые примеры банаховых пространств (далее через обозначено одно из полей
или
):
- Евклидовы пространства
с евклидовой нормой, определяемой для
как
, являются банаховыми пространствами.
- Пространство всех непрерывных функций
, определённых на закрытом интервале
будет банаховым пространством, если мы определим его норму как
. Такая функция будет нормой, так как непрерывные функции на закрытом интервале являются ограниченными. Пространство с такой нормой является полным, а полученное банахово пространство обозначается как
. Этот пример можно обобщить к пространству
всех непрерывных функций
, где
— компактное пространство, или к пространству всех ограниченных непрерывных функций
, где
— любое топологическое пространство, или даже к пространству
всех ограниченных функций
, где
— любое множество. Во всех этих примерах мы можем перемножать функции, оставаясь в том же самом пространстве: все эти примеры являются банаховыми алгебрами.
- Если
— вещественное число, то пространство всех бесконечных последовательностей
элементов из
, таких что ряд
сходится, является банаховым относительно нормы, равной корню степени
из суммы этого ряда, и обозначается
.
- Банахово пространство
состоит из всех ограниченных последовательностей элементов из
; норма такой последовательности определяется как точная верхняя грань абсолютных величин (модулей) элементов последовательности.
- Снова, если
— вещественное число, можно рассматривать все функции, интегрируемые по Лебегу (причём степень
их модуля также суммируема). Корень степени
этого интеграла от
-й степени модуля функции определим как полунорму
. Это множество — не банахово пространство, поскольку есть ненулевые функции, чья норма будет равна нулю. Определим отношение эквивалентности следующим образом:
и
эквивалентны тогда и только тогда, когда полунорма разности
равна нулю. Множество классов эквивалентности относительно этого отношения уже является банаховым пространством; оно обозначается как
. Важно использовать именно интеграл Лебега, а не интеграл Римана, поскольку интеграл Римана не порождает полное пространство. Эти примеры можно обобщить. См., например, Lp-пространства.
- Если
и
— банаховы пространства, то можно составить их прямую сумму
, которая опять-таки будет банаховым пространством. Можно и обобщить этот пример к прямой сумме произвольно большого числа банаховых пространств.
- Если
— замкнутое подпространство банахова пространства
, то факторпространство
снова является банаховым.
- Любое гильбертово пространство тоже является банаховым. Обратное неверно.
- Если
и
— банаховы пространства над одним полем
, тогда множество непрерывных
-линейных отображений
обозначается
. Заметим, что в бесконечномерных пространствах не все линейные отображения автоматически являются непрерывными.
— векторное пространство, и, если норма задана как
, является также и банаховым.
- Пространство
представляет собой унитарную банахову алгебру; операция умножения в ней задаётся как композиция линейных отображений.
- Пространство
Типы банаховых пространств
Литература
- И. М. Виноградов. Банахово пространство // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . — 1977—1985. // Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.