Punct antipodal
În matematică punctele antipodale ale unei sfere sunt acelea diametral opuse între ele (sensul unei astfel de definiții este că o dreaptă trasată din unul la celălalt trece prin centrul sferei deci formează un diametru al ei).[1]
Termenul se aplică și cercului, precum și oricărei n-sfere.
Un punct antipodal este uneori numit antipod,[2] care este un cuvânt compus, format din cuvintele grecești „αντι” (anti = opus) și „πόδι” (podi = picior).
Teorie
În matematică conceptul de puncte antipodale este generalizat la sfere din orice dimensiuni: două puncte de pe sferă sunt antipodale dacă sunt opuse față de centru. De exemplu, luând centrul drept origine, acestea sunt puncte cu vectorii v și −v. Pe un cerc, astfel de puncte sunt numite și diametral opuse. Cu alte cuvinte, fiecare dreaptă care trece prin centru intersectează o sferă în două puncte, câte unul pentru fiecare rază din centru, iar aceste două puncte sunt antipodale.
Teorema Borsuk–Ulam(d) este un rezultat din topologia algebrică(d) care se ocupă cu astfel de perechi de puncte. Se spune că orice funcție continuă de la Sn la Rn aplică o pereche de puncte antipodale din Sn pe același punct din Rn. Aici Sn este sfera n-dimensională din spațiul (n + 1)-dimensional (deci sfera „obișnuită” este S2 iar un cerc este S1).
Aplicația antipodală A : Sn → Sn, definită de A(x) = −x, aplică fiecare punct al sferei pe punctul său antipodal. Este omotopă(d) cu funcția identitate dacă n este impar, iar gradul ei este (−1)n+1.
Perechea de puncte antipodale pe un poligon convex
O pereche de puncte antipodale pe un poligon convex este o pereche de 2 puncte care admite 2 drepte paralele infinite care sunt tangente la ambele puncte incluse într-un punct antipodal fără a intersecta nicio altă latură a poligonului convex.
Note
Legături externe
- en Hazewinkel, Michiel, ed. (), „Antipodes”, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
- en „antipodal”. PlanetMath.
