Involuție (matematică)

Orice involuție este bijectivă.

Funcția identitate (${\displaystyle f(x)=x}$ ) este exemplul banal de involuție. Exemple simple de involuții sunt înmulțirea cu −1 în aritmetică, elementul invers, conjugatul complex, anumite permutări^[2] și complementul din teoria mulțimilor. Alte exemple sunt rotația cu o jumătate de tură, transpoziția de tip ROT13, matrice transpusă, cifrarea simetrică, cifrul Beaufort sau cifrul polialfabetic.

Numărul involuțiilor, inclusiv involuția identică, pe o mulțime cu elementele n = 0, 1, 2, ... este dat de o relație de recurență găsită de Heinrich August Rothe în 1800:

${\displaystyle a_{0}=a_{1}=1}$ și ${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}$ pentru ${\displaystyle n>1.}$

Primii câțiva termeni ai acestui șir sunt 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232 (șirul OEIS A000085^[3]); aceste numere se numesc numere de telefon^⁠(d) și indică și numărul de tablouri Young^[2] cu un număr de celule dat.^[4] Compunerea g ∘ f a două involuții f și g este o involuție dacă și numai dacă operația este comutativă: g ∘ f = f ∘ g.^[5]

Orice involuție pe un număr impar de elemente are cel puțin un punct fix. Mai general, pentru o involuție pe o mulțime finită de elemente, numărul de elemente și numărul de puncte fixe au aceeași paritate.^[6]