Transformada Z

Em engenharia, a ideia por trás do nome “Transformada” consiste, basicamente, em uma operação matemática que tem por finalidade promove algum tipo de simplificação. Dessa forma, o logaritmo consiste, provavelmente, na ferramenta mais antiga de que se tem notı́cia cujo conceito se aproxima da ideia de transformada, uma vez que transforma multiplicações e divisões em somas e subtrações, além de ser útil na resolução de equações cujos expoentes são desconhecidos (Boyer, 1974).^[1] Em verdade, o conceito das transformadas vai muito além dos logaritmos no contexto da engenharia, em que desempenham papel importante. Entre as mais conhecidas (e com certeza mais utilizadas) figura a Transformada Z.

Entretanto, métodos para o tratamento de problemas de tempo discreto são relativamente recentes. Um método para a resolução de equações de diferenças lineares e invariantes no tempo foi apresentado por Gardner e Barnes aos seus alunos de engenharia no início da década de 1940.^[2] Eles aplicaram tal procedimento, que era baseado principalmente em jump functions (funções usadas para representar uma sequência de dados amostrados), na resolução de linhas de transmissão e aplicações envolvendo funções de Bessel. Tal abordagem era bastante complexa, e, na tentativa de "dividir para simplificar", uma transformação de um sinal amostrado foi proposta em 1947 por Witold Hurewicz (1904-1956).^[3] Tal transformação era escrita como função da sequência amostrada f (no domı́nio do tempo) ao invés do número complexo z da notação moderna:^[3]

Seja ${\displaystyle x[n]}$ definida para ${\displaystyle n\in {\bf {Z}}}$ . A Transformada Z bilateral da função ${\displaystyle x[n]}$ é dada por:

${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\cdots +\ x[-2]z^{2}\ +\ x[-1]z\ +\ x[0]\ +\ x[1]z^{-1}\ +\ x[2]z^{-2}\ +\ \cdots }$

Em 1952, cinco anos após a tentativa de Hurewicz, a transformação foi batizada de Transformada Z pelo Sampled-data control group, liderada por John Ralph Raggazini (1912-1988), com Eliahu Ibrahim Jury (que, na época, era aluno de doutorado de Raggazini, mas que acabou sendo um dos principais desenvolvedores da teoria), Lotfi Zadeh (famoso pela criação da lógica Fuzzy) e colaboradores da Columbia University, com o artigo “The Analysis of sampled-Data Systems” (1952),^[4] considerado um dos pioneiros trabalhos sobre a transformada Z. Ao que tudo indica, o termo “Z" foi provavelmente utilizado porque ser relativamente incomum contexto da Engenharia Elétrica (na década de 1950), ainda que remonte ao nome do próprio Zadeh.

${\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz}$ onde ${\displaystyle C}$ é qualquer curva fechada contendo a origem de forma que a integral indicada converge.

A região de convergência é a parte do plano complexo onde a Transformada converge:

${\displaystyle RDC=\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}}$

No caso em que ${\displaystyle x[n]=0}$ , para ${\displaystyle n<0}$ , a série converge para valores de ${\displaystyle z}$ em módulo, maiores que o raio de convergência ${\displaystyle R}$ :

${\displaystyle {\left\vert z\right\vert }>}$ ${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\left\vert x[n]\right\vert }}=}$ ${\displaystyle R}$

Portanto, a série converge absolutamente para todos os pontos do plano ${\displaystyle z}$ que se encontram fora do círculo de raio ${\displaystyle R}$ , centrado na origem. Esta região é denominada região de convergência (RDC ou ROC, da sigla em inglês Region of Convergence).

Se um par de sinais quaisquer formam o par de transformadas z bilaterais:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {Z}}\{g[n]\}=G(z)\\&{\mathcal {Z}}\{h[n]\}=H(z)\\\end{aligned}}}$

então as seguintes propriedades são conservadas pela Transformada Z.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{\alpha g[n]+\beta h[n]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\big (}\alpha g[n]+\beta h[n]{\big )}z^{-n}\\&=\alpha \sum _{n=0}^{\infty }g[n]z^{-n}+\beta \sum _{n=0}^{\infty }h[n]z^{-n}\\&=\alpha {\mathcal {Z}}\{g[n]\}+\beta {\mathcal {Z}}\{h[n]\}\\&=\alpha G(z)+\beta H(z)\end{aligned}}}$

${\displaystyle g[0]=\lim _{z\to \infty }G(z)}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }g[n]=\lim _{z\to 1}(z-1)G(z)}$

Se ${\displaystyle g[n]}$ é um sinal discreto, então

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{g[n-n_{0}]\}&=z^{-n_{0}}G(z),n_{0}\geq 0\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g[n-n_{0}]z^{-n}\end{aligned}}}$

Definindo ${\displaystyle m=n-n_{0}}$

${\displaystyle =\sum _{m=-\infty }^{\infty }g[m]z^{-m}z^{-n_{0}}=z^{-n_{0}}G(z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{\alpha ^{n}g[n]\}&=G\left({\frac {z}{\alpha }}\right)\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{ng[n]\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }ng[n]z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }ng[n]z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }g[n](-nz^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }g[n]{\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dG(z)}{dz}}\end{aligned}}}$

Consideremos uma função discreta

${\displaystyle y[n]=(a+\mathrm {i} b)^{n}u[n]}$

onde ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são constantes reais. Usando o resultado da (Equação), o qual étambém válido para números reais já que a série geométrica também converge noplano complexo, obtemos

${\displaystyle \mathbb {Z} {\big \{}(a+\mathrm {i} b)^{n}u[n]{\big \}}={\frac {z}{z-a-\mathrm {i} b}}}$

multiplicando o numerador e o denominador pelo complexo conjugado dodenominador, podemos separar as partes real e imaginária

${\displaystyle \mathbb {Z} {\big \{}(a+\mathrm {i} b)^{n}u[n]{\big \}}={\frac {z(z-a)}{(z-a)^{2}+b^{2}}}+\mathrm {i} {\frac {bz}{(z-a)^{2}+b^{2}}}}$

Por outro lado, se usarmos a representação polar do número complexo ${\displaystyle a+\mathrm {i} b}$ e a linearidade da transformada Z, podemos escrever

${\displaystyle \mathbb {Z} {\big \{}(a+\mathrm {i} b)^{n}u[n]{\big \}}=\mathbb {Z} {\Big \{}r^{n}e^{\mathrm {i} n\theta }u[n]{\Big \}}=\mathbb {Z} {\Big \{}r^{n}\cos(n\theta )u[n]{\Big \}}+\mathrm {i} \mathbb {Z} {\Big \{}r^{n}\sin(n\theta )u[n]{\Big \}}}$

onde ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle \theta }$ são o módulo e ângulo polar do número complexo. Comparando as partes reais e imaginárias das duas últimas equações, obtemos as transformadas de duas sucessões com senos e co-senos

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbb {Z} \{r^{n}\sin(n\theta )u[n]\}={\frac {bz}{(z-a)^{2}+b^{2}}}\\&\mathbb {Z} \{r^{n}\cos(n\theta )u[n]\}={\frac {z(z-a)}{(z-a)^{2}+b^{2}}}\end{aligned}}}$

onde as constantes ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são definidas por

${\displaystyle {\begin{aligned}&a\equiv r\cos \theta \\&b\equiv r\sin \theta \end{aligned}}}$

A multiplicação da sequência ${\displaystyle y[n]}$ por uma sequência exponencial da forma ${\displaystyle x[n]=a^{n}}$ corresponde a uma dilatação no domínio de ${\displaystyle z}$ :

${\displaystyle \mathbb {Z} \{a^{n}\;h[n]\}=H\left({\frac {z}{a}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{h[-n]\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f[-n]z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]{(z^{-1})}^{-m}\\&=H(z^{-1})\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\{g[n]*h[n]\}=H(z)G(z)}$

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\{{g[n]-g[n-1]}\}={\bigl (}1-z^{-1}{\bigr )}G(z)}$

Seja ${\displaystyle H(z)=z^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U(z)&=z^{-1}E(z)\\\sum _{k=-\infty }^{\infty }u[k]z^{-k}&=z^{-1}\sum _{k=-\infty }^{\infty }e[k]z^{-k}\\\sum _{k=-\infty }^{\infty }u[k]z^{-k}&=z^{-1}\sum _{k=-\infty }^{\infty }e[k-1]z^{-(k-1)}\\\sum _{k=-\infty }^{\infty }u[k]z^{-k}&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }e[k-1]z^{-(k-1)}z^{-1}\\\sum _{k=-\infty }^{\infty }u[k]z^{-k}&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }e[k-1]z^{-k}\\u[k]&=e[k-1]\end{aligned}}}$

Assim, a função transferência ${\displaystyle z^{-1}}$ significa o sinal de entrada atrasado por um período de amostragem, como mostra a figura ao lado

A Transformada Z é, para sinais em tempo discreto, o mesmo que a Transformada de Laplace é, para sinais contínuos.

Seja um sinal, ${\displaystyle x(n)}$ amostrado da forma:

${\displaystyle {\begin{aligned}x[n]=x(nT)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)\\\end{aligned}}}$

onde ${\displaystyle T}$ é o tempo de amostragem. A Transformada de Laplace ${\displaystyle X(s)}$ do sinal ${\displaystyle x(n)}$ é:

${\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\Biggl (}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\delta (t-nT){\Biggr )}e^{-st}dt\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\Bigl (}\delta (t-nT){\Bigr )}e^{-st}dt\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)e^{-nTs}\\\end{aligned}}}$

Obtemos assim a definição de Transformada Z como a Transformada de Laplace com a mudança de variável ${\displaystyle z=e^{Ts}}$ .^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)e^{-nTs}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(nT)z^{-n}\end{aligned}}}$

Seja ${\displaystyle x[n]}$ definida para ${\displaystyle n\in {\bf {Z}}}$ . A Transformada Z uniateral da função ${\displaystyle x[n]}$ é dada por:

${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}_{U}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}=x[0]\ +\ x[1]z^{-1}\ +\ x[2]z^{-2}\ +\ \cdots }$

Se um par de funções quaisquer formam o par de transformadas z unilaterais:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {Z}}_{U}\{g[n]\}=G_{U}(z)\\&{\mathcal {Z}}_{U}\{h[n]\}=H_{U}(z)\\\end{aligned}}}$

então, as propriedades anteriores da transformada bilateral são satisfeitas, exceto a que segue:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}_{U}\{g[n-1]\}&=z^{-1}G_{U}(z)+g[-1],\\{\mathcal {Z}}_{U}\{g[n-2]\}&=z^{-2}G_{U}(z)+z^{-1}g[-1]+g[-2],\\{\mathcal {Z}}_{U}\{g[n-3]\}&=z^{-3}G_{U}(z)+z^{-2}g[-1]+z^{-1}g[-2]+g[-3],\\\vdots \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}_{U}\{g[n+1]\}&=z\ G_{U}(z)-z\ g[0],\\{\mathcal {Z}}_{U}\{g[n+2]\}&=z^{2}G_{U}(z)-z^{2}g[0]-z\ g[1],\\{\mathcal {Z}}_{U}\{g[n+3]\}&=z^{3}G_{U}(z)-z^{3}g[0]-z^{2}g[1]-z\ g[2],\\\vdots \end{aligned}}}$

A propriedade de deslocamento no tempo (atraso ou avanço) da transformada z unilateral é empregada para resolução de equações de diferenças lineares com coeficientes constantes. Converte-se equações de diferenças em equações algébricas e encontram-se as soluções no domínio-z. A transformada inversa determina a solução no domínio do tempo.

${\displaystyle y[n+2]+3y[n+1]+2y[n]=3^{n},\ \ n\geq 0,\qquad {\text{com}}\ \ y[0]=1\qquad y[1]=0}$

Usando a expressão que obtivemos para a transformada de ${\displaystyle y[n]}$ , podemosescrever

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbb {Z} {\big \{}y[n+1]{\big \}}=z{\bar {y}}-z\\&\mathbb {Z} {\big \{}y[n+2]{\big \}}=z\mathbb {Z} {\Big \{}y[n+1]{\Big \}}-zy[1]=z^{2}{\bar {y}}-z^{2}\end{aligned}}}$

vemos que

${\displaystyle \mathbb {Z} {\big \{}3^{n}u[n]{\big \}}={\frac {z}{z-3}}}$

Assim, a transformada da equação de diferenças será

${\displaystyle (z^{2}+3z+2){\bar {y}}-z^{2}-3z={\frac {z}{z-3}}}$

e daí obtemos

${\displaystyle \color {Blue}{{\bar {y}}={\frac {z^{2}+3z}{(z+1)(z+2)}}+{\frac {z}{(z+1)(z+2)(z-3)}}}}$

O cálculo da transformada inversa é feito em forma análoga as transformadasinversas de Laplace, usando expansão em frações parciais, mas deixando defora um fator ${\displaystyle z}$ no numerador, que será necessário manter em todas asfrações parciais.^[6]

Consequentemente, as frações que deverão ser expandidas são:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {z+3}{(z+1)(z+2)}}={\frac {2}{z+1}}-{\frac {1}{z+2}}\\&{\frac {1}{(z+1)(z+2)(z-3)}}={\frac {1}{5(z+2)}}-{\frac {1}{4(z+1)}}+{\frac {1}{20(z-3)}}\end{aligned}}}$

multiplicando cada fração parcial pelo fator ${\displaystyle z}$ que deixamos de fora,obtemos o lado direito da (Equação)

${\displaystyle {\bar {y}}={\frac {7z}{4(z+1)}}-{\frac {4z}{5(z+2)}}+{\frac {z}{20(z-3)}}}$

assi,, encontramos a solução do problema devalores iniciais

${\displaystyle y[n]=\left({\frac {7}{4}}(-1)^{n}-{\frac {4}{5}}(-2)^{n}+{\frac {3^{n}}{20}}\right)u[n]\qquad }$

Considerando um circuito elétrico de forma escada, conforme figura ao lado, constituído por (k+1) malhas fechadas.

Sendo todas as resistências iguais, ${\displaystyle R={\frac {V}{i}}}$ , onde ${\displaystyle V}$ represente a tensão elétrica medida sobre a resistência e ${\displaystyle i}$ , a intensidade de corrente que passa nessa resistência.

Analisando a primeira malha, tem-se que:

${\displaystyle V=Ri_{0}+R(i_{0}-i_{1})}$ , ou ainda,

${\displaystyle i_{1}=2i_{0}-{\frac {V}{R}}}$

Da segunda malha segue:

${\displaystyle R(i_{1}-i_{0})+Ri_{1}+R(i_{1}-i_{2})=0}$ , ou seja

${\displaystyle 3i_{1}-i_{0}-i_{2}=0}$

Assim percebe-se que, não é preciso conhecer ${\displaystyle V}$ para obter ${\displaystyle i_{2}}$ , pois

${\displaystyle i_{2}=3i_{1}-i_{0}}$

Tem-se ainda, uma série: ${\displaystyle {\begin{aligned}i_{n+2}=3i_{n+1}-i_{n}\\i_{n+2}-3i_{n+1}+i_{n}=0\end{aligned}}}$

, que é uma equação de diferenças de segunda ordem, cuja solução da o valor de ${\displaystyle i_{n}}$ para qualquer elemento ${\displaystyle n}$ do circuito.

Aplicando a Transformada ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ , obtém-se:

${\displaystyle z^{2}{\mathcal {Z}}[i_{n}](z)-z^{2}i_{0}-zi_{1}-3z{\mathcal {Z}}[i_{n}](z)+3zi_{0}+{\mathcal {Z}}[i_{n}](z)=0}$ ou seja,

${\displaystyle {\begin{aligned}(z^{2}-3z+1){\mathcal {Z}}[i_{n}](z)&=z^{2}i_{0}+zi_{1}-3zi_{0}\\z^{2}i_{0}+zi_{1}-3zi_{0}&=i_{0}(z^{2}-3z)+(2i_{0}-{\frac {V}{R}})z\\&=i_{0}(z^{2}-z)-z{\frac {V}{R}}\\&=i_{0}{\Biggl (}z^{2}-z{\Biggl (}(1+{\frac {V}{i_{0}R}}{\Biggr )}{\Biggr )}\end{aligned}}}$

Assim, ${\displaystyle {\mathcal {Z}}[i_{n}](z)={\frac {z^{2}-z{\Bigl (}1+{\frac {V}{i_{0}R}}{\Bigr )}}{z^{2}-3z+1}}i_{0}}$

Consequentemente, ${\displaystyle i_{n}={\mathcal {Z}}^{-1}{\Biggl [}{\frac {z^{2}-z{\Bigl (}1+{\frac {V}{i_{0}R}}{\Bigr )}}{z^{2}-3z+1}}i_{0}{\Biggr ]}}$

Aplicando a Transformada inversa

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{n}&={\mathcal {Z}}^{-1}{\Biggl [}{\frac {z^{2}-z\cosh(w)}{z^{2}-2z\cosh(w)+1}}i_{0}+{\frac {z\cosh(w)-z{\bigl (}1+{\frac {V}{i_{0}R}}{\bigr )}}{z^{2}-2z\cosh(w)+1}}{\Biggr ]}\\&=i_{0}\cosh(nw)+{\mathcal {Z}}^{-1}{\Biggl [}{\frac {z{\bigl (}{\frac {3}{2}}-1-{\frac {V}{i_{0}R}}{\bigr )}}{z^{2}-2z\cosh(w)+1}}{\Bigg ]}\\&=i_{0}\cosh(nw)+{\Bigg (}{\frac {1}{2}}-{\frac {V}{i_{0}R}}{\Bigg )}i_{0}{\mathcal {Z}}^{-1}{\Bigg [}{\frac {{\frac {2}{\sqrt {5}}}z\sinh(w)}{z^{2}-2z\cosh(w)+1}}{\Bigg ]}\\&=i_{0}\cosh(nw)+{\Bigg (}{\frac {1}{2}}-{\frac {V}{i_{0}R}}{\Bigg )}i_{0}{\frac {2}{\sqrt {5}}}\sinh(nw)\end{aligned}}}$

Sendo a solução desta equação de diferenças dada por

${\displaystyle i_{n}=i_{0}\cosh(nw)+{\Bigg (}{\frac {i_{0}}{\sqrt {5}}}-{\frac {V}{R{\sqrt {5}}}}{\Bigg )}\sinh(nw)}$

A tabela a seguir provê as transformadas Z para as funções mais comuns de uma variável.^[7]Para definições e exemplos, veja a nota explicatória no fim da tabela.

Função	${\displaystyle f[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\left\{F(z)\right\}}$	${\displaystyle F(z)={\mathcal {Z}}\left\{f[n]\right\}}$
impulso unitário	${\displaystyle \delta [n]}$	${\displaystyle 1}$
impulso atrasado	${\displaystyle \delta [n-n_{0}]}$	${\displaystyle z^{-n_{0}}}$
degrau unitário	${\displaystyle u[n]}$	${\displaystyle {z \over z-1}}$
rampa	${\displaystyle n\cdot u[n]}$	${\displaystyle {z \over (z-1)^{2}}}$
rampa quadrática	${\displaystyle n^{2}\cdot u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z(z+1)}{(z-1)^{3}}}}$
rampa cúbica	${\displaystyle n^{3}\cdot u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z(z^{2}+4z+1)}{(z-1)^{4}}}}$
exponencial	${\displaystyle a^{n}\cdot u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z}{z-a}}}$
exponencial atrasada	${\displaystyle a^{n-1}\cdot u[n-1]}$	${\displaystyle {\frac {1}{z-a}}}$
rampa exponencial	${\displaystyle n\cdot a^{n}\cdot u[n]}$	${\displaystyle {\frac {az}{(z-a)^{2}}}}$
rampa quadrática exponencial	${\displaystyle n^{2}\cdot a^{n}\cdot u[n]}$	${\displaystyle {\frac {az(z+a)}{(z-a)^{3}}}}$
rampa quadrática exponencial	${\displaystyle {\frac {n(n-1)(n-2)...(n-q=1)}{a^{q}\cdot q!}}\cdot a^{n}\cdot u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z}{(z-a)^{q+1}}}}$
Seno exponencial	${\displaystyle b^{n}\cdot \sin(\omega n)\cdot u[n]}$	${\displaystyle {\frac {zb\sin(\omega )}{z^{2}-2b\cos(\omega )z+b^{2}}}}$
Cosseno exponencial (I)	${\displaystyle b^{n}\cdot \cos(\omega n)\cdot u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z[z-b\cos(\omega )]}{z^{2}-2b\cos(\omega )z+b^{2}}}}$
Cosseno exponencial (II)	${\displaystyle b^{n}\cdot \cos(\omega n+\theta )\cdot u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z[z\cos(\theta )-b\cos(\omega -\theta )]}{z^{2}-2b\cos(\omega )z+b^{2}}}}$
Cosseno exponencial (III)	${\displaystyle b^{n}\cdot \cos(\omega n+\theta )\cdot u[n]}$	${\displaystyle {\frac {e^{j\theta }z}{2(z-b)}}-{\frac {e^{-j\theta }z}{2(z-b^{*})}}}$
Cosseno exponencial (IV)	${\displaystyle Cb^{n}\cdot \cos(\omega n+\theta )\cdot u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z(Az+B)}{z^{2}+2az+b^{2}}}}$ ${\displaystyle C={\sqrt {\frac {A^{2}b^{2}-2AaB+B^{2}}{b^{2}-a^{2}}}}}$ ${\displaystyle \omega =\cos ^{-1}\left(-{\frac {a}{b}}\right)}$ ${\displaystyle \theta =\tan ^{-1}\left({\frac {Aa-B}{A{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}}}\right)}$
Nota explicatória: