Em matemática, o teorema de Banach-Steinhaus, também conhecido como princípio da limitação uniforme é um importante resultado da análise funcional. O teorema foi originalmente publicado por Stefan Banach e Hugo Steinhaus em 1927.
Seja
um espaço de Banach e
um espaço normado não necessariamente completo. Seja ainda
uma família de operadores lineares limitados definidos de
em
. Defina ainda:
![{\displaystyle B:=\{x\in X:\sup _{\alpha \in \mathrm {A} }\|T_{\alpha }(x)\|<\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c6fed8f9634104e5fbbeeb042df43c2afa7920)
Então, se
é de segunda categoria em
então:
e![{\displaystyle \sup _{\alpha \in \mathrm {A} }\|T_{\alpha }\|<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533b916cd93f214ddfe575cf7b50acc645833ae0)
O teorema em si surge primeiramente para funcionais lineares contínuos por H. Hahn em 1922, mas a demonstração clássica utiliza o teorema da categoria de Baire é devida a S. Banach e H. Steihaus em 1927. [1] Em 2011, o matemático A. Sokal apresentou uma demonstração sem fazer o uso do mesmo[2].
Escreva:
![{\displaystyle B=\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n},~~B_{n}:=\{x\in X:\sup _{\alpha \in \mathrm {A} }\|T_{\alpha }(x)\|\leqslant n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a687d992424d7679267ef476d453edcae19184)
Como
![{\displaystyle B_{n}:=\bigcap _{\alpha \in \mathrm {A} }\{x\in X:\|T_{\alpha }(x)\|\leqslant n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fdf3933b39ef671069c835b830facb995ffcc02)
e cada um dos operadores
é contínuo,
é fechado. Do fato de que
é de segunda categoria em
e pelo teorema da categoria de Baire. Pelo menos um dos
possui interior não vazio.
Da linearidade dos operadores,
e portanto, existe um
e um
tais que:
,
é bola de centro
e raio
.
Como
é convexo, pode-se considerar
.
Escolha
tal que
e estime:
![{\displaystyle \|T_{\alpha }(x)\|={\frac {1}{r}}\|T_{\alpha }(rx)\|\leqslant {\frac {1}{r}}={\frac {2}{\delta }}\|x\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5575aa5c1f7bade61da1196459ab7f319b0e703b)
E o resultado segue.
Demonstração sem utilizar o Teorema de Baireeditar código-fonte
Primeiro, vejamos um resultado técnico:
Lema. Para qualquer operador linear
entre espaços normados, qualquer
e qualquer
, têm-se
![{\displaystyle \sup _{x^{\prime }\in {\mathcal {B}}(x,r)}\left\|Tx^{\prime }\right\|\geqslant \|T\|_{\infty }r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09da59cf2c382e81e22bfc656fd475724b94aff3)
onde
denota a bola aberta de centro
e raio
.
Demonstração. De fato, para qualquer
, vale a seguinte desigualdade:
![{\displaystyle {\frac {\|T(x+y)\|+\|T(x-y)\|}{2}}\geqslant \|Ty\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9968e3587f4ec5de0dffe14542de8854507fc292)
dado que
, aplicando a desigualdade triangular segue.
Porém,
para quaisquer
. Ou seja:
![{\displaystyle \max {\Big (}\|T(x+y)\|,\|T(x-y)\|{\Big )}\geqslant \|Ty\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd21af56944291ddd3a3f50f478b028b0db0986)
Tomando a norma do supremo em
,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\|T\|_{\infty }r&=\sup _{z\in {\mathcal {B}}[0,1]}\|Tz\|r\\&=\sup _{y\in {\mathcal {B}}(0,r)}\|Ty\|\\&\leqslant \sup _{y\in {\mathcal {B}}(0,1)}\max(\|T(x+y)\|,\|T(x-y)\|)\\&\leqslant \sup _{x^{\prime }\in {\mathcal {B}}(x,r)}\left\|Tx^{\prime }\right\|\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ec6e80f7177c8ac0ac70b049f9134cc89933e2)
Terminando a demonstração do lema
.
Demonstração do Teorema da Limitação Uniforme. Suponha por absurdo que
.
Então existe uma sequência
tal que
para qualquer
.
Pelo lema técnico garantido acima, existe
tal que, para todo
,
![{\displaystyle \left\|x_{n}-x_{n-1}\right\|\leqslant {\frac {1}{3^{n}}}\quad {\text{ e }}\quad \left\|T_{n}x_{n}\right\|\geqslant {\frac {2}{3^{n+1}}}\left\|T_{n}\right\|_{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d949cc312d0d59698223ed51c04f4cba4c1341)
Tal sequência é de Cauchy e por
ser Banach, existe um
de modo que se
, então
.
Portanto,
![{\displaystyle \left\|T_{n}x\right\|\geqslant {\frac {3^{-n}}{2}}\left\|T_{n}\right\|_{\infty }\geqslant {\frac {1}{6}}{\frac {4^{n}}{3^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d3ef0ff13b04ceb212926019508abd4ee782df)
para qualquer
e qualquer
.
O absurdo está em contrariar a hipótese de que
. Logo, não pode ser o caso de
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Para explicitar a necessidade da hipótese de completude temos o exemplo abaixo:
Seja
o espaço normado dos elementos
com
somente para
num conjunto finito de índices. Defina
por
. Então
para todo
e para cada
existe o limite
, mas
.
Segue aplicação do teorema para estudo da continuidade de aplicações bilineares:
Corolário. Sejam
Espaços de Banach. Se
é uma aplicação bilinear separadamente contínua (ou seja,
e
são lineares e contínuas para cada
e cada
, respectivamente), então
é contínua, ou seja, se
e
, então
.