Teorema da concordância de Aumann

O modelo usado por Auman ^[1] para provar o teorema consiste em um conjunto finito de estados ${\displaystyle S}$ com uma probabilidade anterior ${\displaystyle p}$ , que é comum a todos os agentes. O conhecimento do agente ${\displaystyle a}$ é dado por uma partição ${\displaystyle \Pi _{a}}$ de ${\displaystyle S}$ . A probabilidade posterior do agente ${\displaystyle a}$ , denotada ${\displaystyle p_{a}}$ , é a probabilidade condicional de ${\displaystyle p}$ dado ${\displaystyle \Pi _{a}}$ . Fixe um evento ${\displaystyle E}$ e deixe ${\displaystyle X}$ ser o evento que para cada ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle p_{a}(E)=x_{a}}$ . O teorema afirma que se o evento ${\displaystyle C(X)}$ que ${\displaystyle X}$ é de conhecimento comum não está vazio, então todos os números ${\displaystyle x_{a}}$ são os mesmos. A prova decorre diretamente da definição de conhecimento comum. O evento ${\displaystyle C(X)}$ é uma união de elementos de ${\displaystyle \Pi _{a}}$ para cada ${\displaystyle a}$ . Assim, para cada ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle p(E|C(x))=x_{a}}$ . A afirmação do teorema segue uma vez que o lado esquerdo é independente de ${\displaystyle a}$ . O teorema foi provado para dois agentes, mas a prova para qualquer número de agentes é similar.

Monderer e Samet relaxaram a suposição de conhecimento comum e presumiram, em vez disso, conhecimento comum ${\displaystyle p}$ -crença nos posteriores dos agentes. ^[2] Eles deram um limite superior da distância entre os posteriores ${\displaystyle x_{a}}$ . Este limite se aproxima de 0 quando ${\displaystyle p}$ se aproxima de 1.