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Uma tábua de integrais [ 1] (ou tabela de integrais ) é uma lista que relaciona funções a famílias de antiderivadas apropriadas. Associada às propriedades de integração, tais tabelas são ferramentas de auxílio no cálculo de integrais . Este artigo contém uma tabela de integração para funções comumente utilizadas. Ao longo do texto, a , c ∈ R {\displaystyle a,c\in \mathbb {R} } são constantes dadas e C {\displaystyle C} denota uma constante indeterminada. As fórmulas estão apresentadas sem referência explícita do conjunto para a qual sejam válidas. Mais informações sobre elas, bem como suas demonstrações, podem ser encontradas em livros-texto de cálculo[ 2] [ 3] [ 4] e de compêndios de matemática.[ 5] [ 6] [ 7] [ 8] [ 9]
∫ c f ( x ) d x = c ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int cf(x)\,dx=c\int f(x)\,dx} ∫ [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x {\displaystyle \int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx} ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) − ∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x {\displaystyle \int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx} Integrais Indefinidas de Funções Simples editar código-fonte ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C para n ≠ − 1 {\displaystyle \int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ para }}n\neq -1} ∫ 1 x d x = ln | x | + C {\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln {\left|x\right|}+C} [ 10] ∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a arc tg x a + C {\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\,dx={\frac {1}{a}}{\mbox{arc tg }}{\frac {x}{a}}+C} ∫ 1 a 2 − x 2 d x = 1 2 a ln | a + x a − x | + C {\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}-x^{2}}}dx={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {a+x}{a-x}}\right|+C} [ 11] ∫ log a x d x = x log a x − x ln a + C {\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C} ∫ ln x d x = x ( ln x − 1 ) + C {\displaystyle \int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C} ∫ a x d x = a x ln a + C {\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C} ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C} ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arc sen x a + C {\displaystyle \int {1 \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx={\mbox{arc sen }}{\frac {x}{a}}+C} ∫ − 1 a 2 − x 2 d x = arccos x a + C {\displaystyle \int {-1 \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx=\arccos {\frac {x}{a}}+C} ∫ 1 x x 2 − a 2 d x = 1 a arc sec | x a | + C {\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}}dx={\frac {1}{a}}{\mbox{arc sec }}\left|{\frac {x}{a}}\right|+C} ∫ 1 a 2 + x 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C {\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}dx=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}|+C} ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C {\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}dx=\ln |x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}|+C} ∫ 1 x a 2 − x 2 d x = − 1 a ln | a + a 2 − x 2 x | + C {\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}dx=-{\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {a+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{x}}\right|+C} ∫ 1 x a 2 + x 2 d x = − 1 a ln | a + a 2 + x 2 x | + C {\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}}dx=-{\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {a+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}{x}}\right|+C} ∫ cos x d x = sen x + C {\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\operatorname {sen} {x}+C} ∫ sen x d x = − cos x + C {\displaystyle \int {\mbox{sen }}{x}\,dx=-\cos {x}+C} ∫ tg x d x = − ln | cos x | + C {\displaystyle \int {\mbox{tg }}{x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C} [ 12] ∫ cossec x d x = ln | cossec x − cotg x | + C {\displaystyle \int {\mbox{cossec }}{x}\,dx=\ln {\left|{\mbox{cossec }}{x}-{\mbox{cotg }}{x}\right|}+C} ∫ sec x d x = ln | sec x + tg x | + C {\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+{\mbox{tg }}{x}\right|}+C} ∫ cotg x d x = ln | sen x | + C {\displaystyle \int {\mbox{cotg }}{x}\,dx=\ln {\left|{\mbox{sen }}{x}\right|}+C} ∫ sec x tg x d x = sec x + C {\displaystyle \int \sec {x}{\mbox{tg }}{x}\,dx=\sec {x}+C} ∫ cossec x cotg x d x = − cossec x + C {\displaystyle \int {\mbox{cossec }}{x}{\mbox{cotg }}{x}\,dx=-{\mbox{cossec }}{x}+C} ∫ sec 2 x d x = tg x + C {\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx={\mbox{tg }}x+C} ∫ cossec 2 x d x = − cotg x + C {\displaystyle \int {\mbox{cossec}}^{2}x\,dx=-{\mbox{cotg }}x+C} ∫ sen 2 x d x = 1 2 ( x − sen x cos x ) + C {\displaystyle \int {\mbox{sen}}^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-{\mbox{sen }}x\cos x)+C} ∫ cos 2 x d x = 1 2 ( x + sen x cos x ) + C {\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+{\mbox{sen }}x\cos x)+C} Ver artigo principal: Lista de integrais de funções hiperbólicas
∫ senh x d x = cosh x + C {\displaystyle \int {\mbox{senh }}x\,dx=\cosh x+C} ∫ cosh x d x = senh x + C {\displaystyle \int \cosh x\,dx={\mbox{senh }}x+C} ∫ tgh x d x = ln ( cosh x ) + C {\displaystyle \int {\mbox{tgh }}x\,dx=\ln(\cosh x)+C} ∫ cossech x d x = ln | tgh x 2 | + C {\displaystyle \int {\mbox{cossech}}\,x\,dx=\ln \left|{\mbox{tgh }}{x \over 2}\right|+C} ∫ sech x d x = arctg ( senh x ) + C {\displaystyle \int {\mbox{sech}}\,x\,dx={\mbox{arctg }}({\mbox{senh }}x)+C} ∫ cotgh x d x = ln | senh x | + C {\displaystyle \int {\mbox{cotgh }}x\,dx=\ln |{\mbox{senh }}x|+C} ∫ 0 ∞ x e − x d x = 1 2 π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}} ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = 1 2 π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}} ∫ 0 ∞ x e x − 1 d x = π 2 6 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}} ∫ 0 ∞ x 3 e x − 1 d x = π 4 15 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{4}}{15}}} ∫ 0 ∞ sin ( x ) x d x = π 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}} ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\sqrt {\pi }}} Função gama : Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ x z − 1 e − x d x {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx} [ 13] Função erro : erf ( x ) = 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t {\displaystyle {\text{erf}}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt} Logaritmo integral : Li ( x ) = ∫ 0 x d t ln t {\displaystyle {\text{Li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}} Integral elíptica de primeiro tipo: F ( a , θ ) = ∫ 0 sen θ d x ( 1 − x 2 ) ( 1 − a 2 x 2 ) {\displaystyle F(a,\theta )=\int _{0}^{{\text{sen }}\theta }{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-a^{2}x^{2})}}}} Seno integral : Si ( x ) = ∫ 0 x sen t t d t {\displaystyle {\text{Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {{\text{sen }}t}{t}}dt} Cosseno integral : Ci ( x ) = − ∫ x ∞ cos t t d t {\displaystyle {\text{Ci}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {{\text{cos}}t}{t}}dt} Referências