Rolete (curva)

Em geometria diferencial de curvas, uma rolete é um tipo de curva, generalizando cicloides, epicicloides, hipocicloides, trocoides e evolventes.

Animação de uma rolete de uma parábola sobre outra, resultando uma Cissoide de Diocles

De forma geral, é a curva descrita por um ponto (denominado gerador ou polo) pertencente a uma curva dada que rola sem deslizar sobre uma outra curva dada e que permanece fixa. Mais precisamente, dada uma curva em um plano que se move tal que a curva rola sem deslizar ao longo de uma dada curva em um plano fixo ocupando o mesmo espaço, então um ponto pertencente ao plano móvel descreve uma curva no plano fixo denominada rolete.

Na animação ao lado, a curva fixa (em azul) é uma parábola, a curva móvel (em verde) é outra parábola igual à azul, e o gerador é o vértice da parábola rolante, que descreve a rolete (em vermelho). Neste caso a rolete é a Cissoide de Diocles.^[1]

Quando a curva rolante é uma reta e o gerador é um ponto sobre a reta, a rolete é denominada evolvente da curva fixa. Se a curva rolante é um círculo e a curva fixa é uma reta, a rolete é uma trocoide. Se, neste caso, o ponto está sobre o círculo, então a rolete é uma cicloide.

Se, ao invés de um simples ponto fixo ser marcado na curva girante outra dada curva é carregada junto com o plano móvel, uma família de curvas congruentes é produzida. O envelope desta família também pode ser chamado de rolete.

Um conceito relacionado é uma glissete, a curva descrita por um ponto ligado a uma dada curva quando esta desliza sobre duas (ou mais) curvas dadas.

Formalmente falando, as curvas devem ser diferenciáveis no plano euclidiano. Uma permanece invariante, e a outra é submetida a uma transformação congruente contínua, tal que para todo tempo as curvas são tangentes em um ponto de contato que se move com a mesma velocidade ao longo de qualquer das curvas. A rolete resultante é formada pelo lugar geométrico do gerador sujeito ao mesmo conjunto de transformações congruentes.

Modelando as curvas originais no plano complexo, sejam $r,f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ parametrizações distintas tal que r(0)=f(0), r′(0)=f′(0), e |r′(t)|=|f′(t)|≠0 para todo t. A rolete de $p\in \mathbb {C}$ quando r rola sobre f é então dada pelo mapeamento

t\mapsto f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}.

Roletes em espaços de maiores dimensões podem ser imaginadas, mas são necessário mais parâmetros que apenas tangentes.

Exemplo

Se a curva fixa é uma catenária e a curva rolante uma reta, temos:

f(t)=t+i(\cosh(t)-1)\qquad r(t)=\sinh(t)

f'(t)=1+i\sinh(t)\qquad r'(t)=\cosh(t).

A parametrização da linha é tal que

|f'(t)|\,

={\sqrt {1^{2}+\sinh ^{2}(t)}}

={\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}

=|r'(t)|.\,

Aplicando a fórmula acima obtemos

f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t)) \over \cosh(t)}=t-i+(p+i){1+i\sinh(t) \over \cosh(t)}.

Se p = −i a expressão tem a parte imaginária constante (−i) e a rolete é uma linha horizontal. Uma aplicação interessante disto é que uma roda quadrada pode rolar sem saltar sobre uma estrada que é composta por uma série de arcos catenários, como mostra a animação a seguir.

Lista de roletes

Curva fixa	Curva rolante	Ponto gerador	Rolete
Qualquer curva	Reta	Ponto da reta	Evolvente de uma curva
Reta	Circunferência	Qualquer	Trocoide
Reta	Circunferência	Ponto da circunferência	Cicloide
Reta	Cônica	Centro da cônica	Rolete de Sturm^[2]
Reta	Cônica	Foco da cônica	Rolete de Delaunay^[3]
Reta	Parábola	Foco da parábola	Catenária^[4]
Reta	Elipse	Foco da elipse	Catenária elíptica^[4]
Reta	Hipérbole	Foco da hipérbole	Catenária hiperbólica^[4]
Reta	Hipérbole	Centro da hipérbole	Elástica retangular
Reta	Epicicloide ou Hipocicloide	Centro	Elipse^[5]
Circunferência	Circunferência	Qualquer	Trocoide centrada^[6]
Parábola	Parábola igual parametrizada em sentido oposto	Vértice da parábola	Cissoide de Diocles^[1]
Catenária	Reta	Ver exemplo acima	Line

Referências

Bibliografia

Besant, W. H. Notes on Roulettes and Glissettes, Deighton, Bell & Co., 1890. Online
Weisstein, Eric W. «Roulette» (em inglês). MathWorld

Ligações externas

«Roulette at 2dcurves.com» (em inglês)
«Base, roulante et roulettes d'un mouvement plan sur plan» (em francês)
«Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen» (em alemão)

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