Multiplicadores de Lagrange
Em matemática, em problemas de otimização, o método dos multiplicadores de Lagrange permite encontrar extremos (máximos e mínimos) de uma função de uma ou mais variáveis suscetíveis a uma ou mais restrições.[2]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/55/LagrangeMultipliers3D.png/300px-LagrangeMultipliers3D.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/LagrangeMultipliers2D.svg/300px-LagrangeMultipliers2D.svg.png)
Por exemplo (veja a figura 1 à direita), considere o problema de otimização
- maximize ou seja, deseja-se encontrar o ponto máximo desta função
- sujeito a
O método consiste em introduzir uma variável nova ( normalmente), chamada de multiplicador de Lagrange. A partir disso, estuda-se a função de Lagrange, assim definida:
Nesta função, o termo pode ser adicionado ou subtraído. Se é um ponto de máximo para o problema original, então existe um tal que é um ponto estacionário para a função lagrangiana, ou seja, existe um ponto para o qual as derivadas parciais de são iguais a zero.
No entanto, nem todos os pontos estacionários permitem uma solução para o problema original. Portanto, o método dos multiplicadores de Lagrange garante uma condição necessária para a otimização em problemas de otimização com restrição.[3][4][5][6][7]
O nome "multiplicador de Lagrange" é uma homenagem a Joseph Louis Lagrange.
Definição
Considere uma função de variáveis
e
funções de restrição
. Sejam estas funções deriváveis em primeira ordem com derivadas contínuas e que para qualquer ponto do domínio existe algum
para o qual
, se
tiver um extremo relativo dentro de suas restrições, este ponto ocorre em um ponto
tal que
pertença a uma superfície de restrição de
na qual a seguinte condição seja satisfeita:
são os multiplicadores de Lagrange.
A solução recai em resolver um sistema com equações (as
equações obtidas pela diferenciação, e as
restrições
) e
incógnitas (a coordenada de
no espaço de
dimensões e os
multiplicadores de Lagrange).
Utilização
O método de lagrange é empregado na resolução de problemas de Programação, é uma ferramenta importante em restrições de igualdade.
Exemplo
A função potencial gravitacional em relação a um corpo celeste: , onde
e
são as coordenadas do centro do corpo celeste.
O problema é: a uma dada distância da Terra e da Lua, ou seja, fixando-se os potenciais gravitacionais relativos a esses 2 corpos, deseja-se saber qual o ponto em que a energia potencial gravitacional gerada pela massa do Sol é máxima (ou mínima).
A figura abaixo mostra a situação, onde os centros dos 3 corpos estão no plano da tela, As superfícies esféricas equipotenciais da Terra e da Lua aparecem como círculos no plano da tela. Sua intercessão é um círculo num plano normal à tela, que a cruza nos pontos e
. Esses pontos são a solução do problema, pois um é o mais próximo e o outro é o mais distante do Sol, entre todo o conjunto de pontos desse círculo de intercessão das superfícies.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/MultiplicadoresLagrange.jpg/300px-MultiplicadoresLagrange.jpg)
Qual a relação com os multiplicadores de Lagrange? Basta lembrar que a aceleração da gravidade é o gradiente do potencial gravitacional, e ela aponta para os centros dos corpos. Em geral, ao longo do círculo normal à tela, de intercessão entre as superfícies potenciais da Terra e Lua, esses vetores dirigidos respectivamente para o centro do Sol, da Terra e da Lua são linearmente independentes. Mas nos pontos e
eles estão no mesmo plano, e um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Portanto pode-se escrever: ou
onde: e
é o potencial gravitacional do Sol,
é o da Terra e
é o da Lua. Como a restrição são as superfícies equipotenciais, as funções
são zero para os pontos em que os potenciais são
e
respectivamente.[8]