Matriz nula

O conjunto das matrizes m × n com entradas em um anel K forma um anel ${\displaystyle K_{m,n}.}$ A matriz nula ${\displaystyle 0_{K_{m,n}}}$ em ${\displaystyle K_{m,n}}$ é a matriz com todas as entradas iguais a ${\displaystyle 0_{K},}$ em que ${\displaystyle 0_{K}}$ é o elemento neutro da adição em K.

$${\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}_{m\times n}}$$

A matriz nula é o elemento neutro da adição em ${\displaystyle K_{m,n},}$ ^[2] ou seja, para toda ${\displaystyle A\in K_{m,n},}$ vale

$${\displaystyle 0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A.}$$

Existe exatamente uma matriz nula de cada tamanho m × n dado tendo entradas num anel dado, assim, quando o contexto for claro, é comum se referir à matriz nula. Em geral, o elemento zero de um anel é único e normalmente indicado por 0 sem qualquer índice subscrito para indicar o anel subjacente. Deste modo, os exemplos acima representam matrizes nulas sobre qualquer anel.

A matriz nula representa a transformação linear que envia todos os vetores no vetor nulo.^[3]

A matriz nula é idempotente, o que significa que, quando é multiplicada por si mesma, o resultado é ela própria.

A matriz nula é a única matriz cujo posto é 0.

O problema matricial mortal é o problema de determinar, dado um conjunto finito de matrizes n × n com entradas inteiras, se elas podem ser multiplicadas em alguma ordem, possivelmente com repetição, para produzir a matriz nula. Sabe-se que isso é indecidível para um conjunto de seis ou mais matrizes 3 × 3 ou um conjunto de duas matrizes 15 × 15.^[4]

Na regressão por mínimos quadrados ordinária, se houver um ajuste perfeito aos dados, a matriz anuladora é a matriz nula.

• Matriz identidade, o elemento neutro da multiplicação matricial

• Weisstein, Eric W. «Zero Matrix» (em inglês). MathWorld