Uma matriz de Vandermonde de ordem m × n tem a forma geral:
ou
, para todos os índices i e j.[1] Alguns autores usam a transposta da matriz acima, ou seja, as colunas estão em progressão geométrica.
Determinante
O determinante de uma matriz de Vandermonde de tamanho n×n se expressa da seguinte forma[2]:
Esta fórmula é conhecida por vezes como o discriminante, mas em geral o discriminante é definido como o quadrado da fórmula acima.
Demonstra-se essa fórmula por indução.[2] No caso da matriz 2x2 é fácil verificar.
Agora, provemos para a matriz nxn supondo válido para as matrizes n-1 x n-1. Seja a coluna i, então multiplicamos a coluna por e somamos com a coluna :
Calculando o determinante, pelo Teorema de Laplace acaba-se por eliminar a primeira linha e a primeira coluna, achando assim uma matriz de n-1×n-1, logo.
Segue da propriedade 10[3] que se pode fatorar os coeficientes caindo em uma matriz de Vandermonde n-1×n-1..
E por hipótese de indução temos que
Interpolação polinomial
A matriz de Vandermonde surge naturalmente do problema de interpolação polinomial, ou seja: dado um conjunto de npares ordenados com i variando entre 1 e n, encontrar o polinômioP(x) com n graus de liberdade (ou seja, o seu grau máximo é n-1) tal que . A solução deste problema consiste em resolver o seguinte sistema linear:
Onde são os coeficientes do polinômio . O fato de a matriz de Vardemonte ter determinante não nulo implica que o problema tem solução e que ela é única.
O número de condicionamento da matriz pode ser grande,[4] causando erros importantes no cálculo dos coeficientes se o sistema for resolvido usando eliminação gaussiana. Diversos autores propuseram algoritmos numericamente estáveis que exploram a estrutura da matriz de Vandermonde para resolver o problema em operações ao invés de exigidos pela eliminação gaussiana.[5][6][7] Estes métodos consistem em primeiro construir um polinômio de Newton e depois convertê-lo para a forma canônica acima.