Matriz de Moore

Em álgebra linear, uma matriz de Moore, introduzida por Eliakim Hastings Moore, é uma matriz definida ao longo de um corpo finito. Quando é uma matriz quadrada seu determinante é chamado um determinante Moore (este não está relacionado com o determinante Moore de uma matriz quaterniônica Hermitiana ^{[nota 1]}). A matriz de Moore tem potências sucessivas do endomorfismo de Frobenius aplicada à coluna em primeiro lugar, por isso, é um m × n matriz.^[1]

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{1}^{q}&\dots &\alpha _{1}^{q^{n-1}}\\\alpha _{2}&\alpha _{2}^{q}&\dots &\alpha _{2}^{q^{n-1}}\\\alpha _{3}&\alpha _{3}^{q}&\dots &\alpha _{3}^{q^{n-1}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{m}&\alpha _{m}^{q}&\dots &\alpha _{m}^{q^{n-1}}\\\end{bmatrix}}}$

ou

${\displaystyle M_{i,j}=\alpha _{i}^{q^{j-1}}}$

para todos os índices i e j. (Alguns autores usam a transposição da matriz acima.) O determinante Moore de uma matriz quadrada Moore (de modo que m = n) pode ser expresso como:

${\displaystyle \det(V)=\prod _{\mathbf {c} }\left(c_{1}\alpha _{1}+\cdots +c_{n}\alpha _{n}\right),}$

onde c é executado ao longo de um conjunto completo de vetores de direção, feito específico por ter a última entrada não-zero igual a 1, i.e.

${\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i\leq n}\prod _{c_{1},\dots ,c_{i-1}}\left(c_{1}\alpha _{1}+\cdots +c_{i-1}\alpha _{i-1}+\alpha _{i}\right).}$

Em particular, o determinante Moore desaparece se, e somente se, os elementos na coluna do lado esquerdo estão linearmente independente sobre o corpo finito de ordem q. Assim ele é análogo ao Wronskiano.^[2]

Dickson usado o determinante Moore para encontrar os invariantes modulares do grupo geral linear sobre um corpo finito.^[3]