Limites e colimites

Sejam ${\displaystyle J,C}$ categorias, a primeira chamada categoria de índices, e functor ${\displaystyle F:J\to C}$ . Aqui, para cada ${\displaystyle c\in C}$ , denota-se por ${\displaystyle \Delta (c):J\to C}$ o functor constante, definido por: ${\displaystyle \Delta (c)(i)=c}$ para cada ${\displaystyle i\in J}$ ; ${\displaystyle \Delta (c)(u:i\to j)=1_{c}}$ para cada ${\displaystyle u}$ morfismo em ${\displaystyle J}$ .^[3]

Um cone do vértice ${\displaystyle c\in C}$ ao functor ${\displaystyle F}$ é uma transformação natural ${\displaystyle \Delta (c){\dot {\to }}F}$ , e, dualmente, um cone de ${\displaystyle F}$ ao vértice ${\displaystyle c}$ é uma transformação natural ${\displaystyle F{\dot {\to }}\Delta (c)}$ .^[4] Em símbolos:$${\displaystyle \mathrm {Cone} (c,F)=\mathrm {Nat} (\Delta (c),F),}$$ $${\displaystyle \mathrm {Cone} (F,c)=\mathrm {Nat} (F,\Delta (c)).}$$

A condição de naturalidade para cones de ${\displaystyle c}$ a ${\displaystyle F}$ é ${\displaystyle F(k)\circ \lambda _{i}=\lambda _{j}}$ para cada ${\displaystyle k:i\to j}$ em ${\displaystyle J}$ , ou seja,$${\displaystyle {\begin{matrix}{}^{\lambda _{i}}&{}_{\nearrow }&F(i)\\c&&\downarrow &\scriptstyle {F(k)}\\{}_{\lambda _{j}}&{}^{\searrow }&F(j)\end{matrix}},}$$ e cones de ${\displaystyle F}$ a ${\displaystyle c}$ satisfazem a condição dual.

Adicionalmente, temos functor ${\displaystyle \mathrm {Cone} (-,F):C^{\mathrm {op} }\to {\mathsf {Set}}}$ (e analogamente ${\displaystyle \mathrm {Cone} (F,-):C\to {\mathsf {Set}}}$ ); para cada ${\displaystyle f:c\to d}$ , ${\displaystyle \mathrm {Cone} (f,F)}$ leva uma transformação natural de componentes ${\displaystyle \lambda _{i}:d\to F(i)}$ a uma de componentes ${\displaystyle \lambda _{i}\circ f:c\to F(i)}$ .^[5]

Em cada representação$${\displaystyle \hom _{C^{\mathrm {op} }}(a,-)=\hom _{C}(-,a)\cong \mathrm {Cone} (-,F),}$$ o objeto ${\displaystyle a}$ é chamado de limite de ${\displaystyle F}$ ; o correspondente elemento universal ${\displaystyle \lambda \in \mathrm {Cone} (a,F)}$ é chamado cone limitante. Noutras palavras, ${\displaystyle \lambda :\Delta (a){\dot {\to }}F}$ é cone limitante se e só se, para cada outro cone ${\displaystyle \mu :\Delta (b){\dot {\to }}F}$ , há precisamente uma seta ${\displaystyle f:b\to a}$ tal que ${\displaystyle \mu _{j}=\lambda _{j}\circ f}$ para cada ${\displaystyle j\in J}$ .

Dualmente, numa representação$${\displaystyle \hom _{C}(a,-)\cong \mathrm {Cone} (F,-),}$$ o objeto ${\displaystyle a}$ é chamado de colimite de ${\displaystyle F}$ , e o elemento universal ${\displaystyle \lambda \in \mathrm {Cone} (F,a)}$ é chamado cone colimitante.

Limites e colimites são únicos a menos de isomorfismo (pelo Lema de Yoneda), e são denotados respectivamente por ${\displaystyle \mathrm {lim} \,F}$ , ${\displaystyle \mathrm {colim} \,F}$ .^[4][1][2]

Um limite para um functor ${\displaystyle F:J\to C}$ é chamado:

• produto quando ${\displaystyle J}$ é categoria discreta (isto é, todos os seus morfismos são identidades). No caso de produtos binários, a representação acima se reduz a:$${\displaystyle \hom _{C}(c,a\times b)\cong \mathrm {Cone} (c,F)\cong \hom _{C}(c,a)\times \hom _{C}(c,b),}$$ onde ${\displaystyle a,b}$ são as imagens de ${\displaystyle F}$ nos dois objetos de ${\displaystyle J}$ .
• objeto terminal quando ${\displaystyle J}$ é vazia. A representação acima se reduz a:$${\displaystyle \hom _{C}(a,t)\cong \mathrm {Cone} (a,F)\cong \star ,}$$ onde ${\displaystyle \star }$ é conjunto de exatamente um elemento.
• equalizador quando ${\displaystyle J=\bullet \rightrightarrows \bullet }$ (duas identidades, e outros dois morfismos paralelos que não são identidades).
• produto fibrado (ou pullback) quando ${\displaystyle J=\bullet \rightarrow \bullet \leftarrow \bullet }$ .

Dualmente, um colimite para ${\displaystyle F:J\to C}$ é chamado:

• coproduto quando ${\displaystyle J}$ é discreta.
• objeto inicial quando ${\displaystyle J}$ é vazia.
• coequalizador quando ${\displaystyle J=\bullet \rightrightarrows \bullet }$ .
• coproduto fibrado (ou pushout) quando ${\displaystyle J=\bullet \leftarrow \bullet \rightarrow \bullet }$ .^[6][2][1]

Quando a categoria ${\displaystyle C}$ é uma pré-ordem,

• o limite de um functor ${\displaystyle F:J\to C}$ é o ínfimo ${\displaystyle \inf _{i\in J}{F(i)}}$ .
• o colimite de um functor ${\displaystyle F:J\to C}$ é o supremo ${\displaystyle \sup _{i\in J}{F(i)}}$ .^[7]

Uma categoria ${\displaystyle C}$ é dita (pequeno-)completa se e só se, para cada categoria pequena ${\displaystyle J}$ , todo functor ${\displaystyle F:J\to C}$ tem limite. Dualmente, ${\displaystyle C}$ é (pequeno-)cocompleta se e só se todo functor ${\displaystyle F:J\to C}$ tal que ${\displaystyle J}$ é categoria pequena tem colimite.

Se ${\displaystyle C}$ tem todos os produtos pequenos e todos os equalizadores (de duplas de morfismos), então ${\displaystyle C}$ é completa. Com efeito, um limite de ${\displaystyle F:J\to C}$ é o domínio ${\displaystyle d}$ do equalizador:$${\displaystyle {\begin{array}{c c c}&{}_{f}&\\d{\xrightarrow {e}}\prod _{i\in J}{F(i)}&\rightrightarrows &\prod _{u:j\to k}{F(k)},\\&{}^{g}&\end{array}}}$$ em que as duas setas paralelas são definidas por (abaixo, ${\displaystyle p_{(-)}}$ denota as projeções dos produtos):$${\displaystyle {\begin{array}{l}p_{u}\circ f=p_{k}\\p_{u}\circ g=F(u)\circ p_{j}\end{array}}{\text{ para cada seta }}u:j\to k,}$$ e o cone limitante tem componentes ${\displaystyle p_{i}\circ e:d\to F(i)}$ para cada ${\displaystyle i\in J}$ .^[8]

A categoria ${\displaystyle {\mathsf {Set}}}$ dos conjuntos pequenos é pequeno-completa e pequeno-cocompleta. Há fórmulas explícitas para os limites e os colimites de um functor ${\displaystyle F:J\to {\mathsf {Set}}}$ :$${\displaystyle \lim F\cong \mathrm {Cone} (\star ,F)\cong \left\{f\in \prod _{i\in J}{F(i)}\mid \forall (j,k\in J)\forall (u:j\to k)F(u)(f(j))=f(k)\right\},}$$ $${\displaystyle \operatorname {colim} F\cong \left(\coprod _{i\in J}{F(i)}\right)/\sim ,}$$ onde ${\displaystyle \sim }$ é a menor relação de equivalência satisfazendo (abaixo, ${\displaystyle \iota _{j}:F(j)\to \coprod _{i\in I}{F(i)}}$ denota as inclusões no coproduto):$${\displaystyle \iota _{j}(x)\sim \iota _{k}(F(u)(x))}$$ para cada ${\displaystyle x\in F(j)}$ e ${\displaystyle u:j\to k}$ .^[9][10]

O functor ${\displaystyle \Delta :C\to C^{J}}$ tem adjunto direito se e só se ${\displaystyle C}$ admite todos os limites indexados por ${\displaystyle J}$ , e tem adjunto esquerdo se e só se ${\displaystyle C}$ admite todos os limites indexados por ${\displaystyle J}$ :

${\displaystyle \hom _{C^{J}}(\Delta (c),F)\cong \hom _{C}(c,\operatorname {lim} F)}$ ,${\displaystyle \hom _{C}(\operatorname {colim} F,c)\cong \hom _{C^{J}}(F,\Delta (c))}$ .

Neste caso, ${\displaystyle \operatorname {colim} \dashv \Delta \dashv \operatorname {lim} }$ , isto é, os operadores limite e colimite podem ser estendidos a functores ${\displaystyle C^{J}\to C}$ .^[11]

Um functor ${\displaystyle U:C\to D}$ :

• preserva os limites de ${\displaystyle F:J\to C}$ se e só se, para cada cone limitante ${\displaystyle \lambda :\Delta (c){\dot {\to }}F}$ , também ${\displaystyle U\lambda :\Delta (U(c)){\dot {\to }}UF}$ é cone limitante.
• reflete os limites de ${\displaystyle F:J\to C}$ se e só se, para cada cone ${\displaystyle \lambda :\Delta (c){\dot {\to }}F}$ tal que ${\displaystyle U\lambda :\Delta (U(c)){\dot {\to }}UF}$ é cone limitante, também ${\displaystyle \lambda }$ é cone limitante.
• cria os limites de um functor ${\displaystyle F:J\to C}$ tal que ${\displaystyle UF:J\to D}$ tem limite se e só se ${\displaystyle F:J\to C}$ também tem limite, e ${\displaystyle U}$ preserva e reflete os limites de ${\displaystyle F}$ .^[12]
• estritamente cria os limites de ${\displaystyle F}$ se e só se, para cada cone limitante ${\displaystyle \mu :\Delta (d){\dot {\to }}UF}$ , há único ${\displaystyle c\in C}$ e cone ${\displaystyle \lambda :\Delta (c){\dot {\to }}F}$ tal que ${\displaystyle \mu =U\lambda }$ , e ainda mais este ${\displaystyle \lambda }$ é cone limitante.^[13]

(Mac Lane usa o termo cria em vez de estritamente cria.^[14]) Há definições análogas para a preservação, reflexão e criação de colimites.

Um functor ${\displaystyle U:C\to D}$ é dito (pequeno-)contínuo (respectivamente cocontínuo) quando preserva todos os limites pequenos (respectivamente colimites pequenos).

Os functores ${\displaystyle \hom _{C}(c,-):C\to {\mathsf {Set}}}$ são sempre contínuos.^[15] Assim, têm-se isomorfismos:^[16]$${\displaystyle \hom _{C}(c,\lim F)\cong \lim(\hom _{C}(c,F(-)))}$$ $${\displaystyle \hom _{C}(\operatorname {colim} F,c)\cong \lim(\hom _{C}(F(-),c))}$$

Um limite de um functor F : J → C^A existe precisamente quando cada functor E_a ∘ F : J → C tem limite (onde E_a : C^A → C é a aplicação em a), e neste caso o limite é um functor L : A → C tal que L(a) é limite de E_a ∘ F para cada a ∈ A.^[17]

Seja functor F : I × J → C tal que, para cada i ∈ I, F(i, –) : J → C tem limite. Então, esses limites formam um functor

lim_{j ∈ J} F(–, j) : I → C,

que tem limite precisamente quando F : I × J → C tem limite.

Em particular, quando os limites abaixo existem, há isomorfismo

lim_{i ∈ I} lim_{j ∈ J} F(i, j) ≅ lim_{j ∈ J} lim_{i ∈ I} F(i, j).^[18]

Para cada functor F : I × J → C, há uma seta "canônica"

colim_{i ∈ I} lim_{j ∈ J} F(i, j) → lim_{j ∈ J} colim_{i ∈ I} F(i, j),

quando existem os limites e colimites adequados. Se C é a categoria dos conjuntos, uma das situações nas quais essa seta é isomorfismo é quando J é categoria finita e I é categoria filtrada (isto é, cada functor K → I com K finita tem cone a algum objeto de I); brevemente, limites finitos comutam com colimites filtrados na categoria dos conjuntos.^[18]

• RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.] 
• MAC LANE, Saunders (1997). Categories for the Working Mathematician 2 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98403-8 

• «Category Theory Demonstrations» (em inglês). Página que gera exemplos de limites e colimites na categoria dos conjuntos finitos.