Relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os comprimentos de seus lados opostos
Em trigonometria, a lei das tangentes[1] estabelece a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os comprimentos de seus lados opostos. Tal proposição foi descoberta por volta de 1580, pelo matemático François Viète.[2]
Sejam a, b e c os comprimentos dos três lados do triângulo e α, β e γ, os respectivos ângulos opostos a estes três lados. A lei das tangentes estabelece que
Seja um triângulo não isósceles e não retângulo cujos ângulos internos e medidas dos lados estão indicadas na figura.A lei das tangentes estabelece que, para qualquer triângulo que não seja isósceles nem retângulo, valem as seguintes relações:
Demonstração
Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:
Usando uma propriedade das proporções, temos que:
Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:
Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.
![{\displaystyle {\dfrac {a-b}{a+b}}={\dfrac {\tan \left[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right]}{\tan \left[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282bcf9f6d8c179e013d828c4752e053565ddad1)
