Hexadecácoro

É delimitado por 16 células, sendo todas tetraedros regulares. Ele tem 32 faces triangulares, 24 arestas e 8 vértices.Os oito vértices do hexadecácoro são:

${\displaystyle (\pm 1,0,0,0),(0,\pm 1,0,0),(0,0,\pm 1,0),(0,0,0,\pm 1).}$

Todos os vértices são conectados por arestas, exceto os pares opostos.O símbolo de Schläfli para o hexadecácoro é {3,3,4}. Sua figura de vértice é o octaedro regular. Há oito tetraedros, 12 triângulos e seis arestas convergindo em cada vértice. Há quatro tetraedros e quatro triângulos se encontrando em cada extremidade.Pode-se decompor o hexadecácoro em duas disjunções como cadeias de 8 tetraedros cada, com 4 arestas. Cada cadeiaA célula 16 pode ser decomposto em dois disjuntos como cadeias de round oito tetraedros cada, quatro bordas longas. Cada cadeia, quando esticada em linha reta, forma uma hélice de Boerdijk-Coxeter. Esta decomposição pode ser visto em um 4-4 duoantiprisma a partir da construção do hexadecácoro: ou , símbolo de Schläfli {2}⨂{2} ou s{2}s{2}, simetria [[4,2⁺,4]], ordem 64.O hexadecácoro pode ser bisectado em duas pirâmides octaédricas,das quais compartilham uma nova base octaédrica através do centro do hexadecácoro. ^[4]

Pode-se tesselar o hexadecácoro em um espaço euclidiano quadridimensional com 16 células regulares, produzindo o chamado favo de mel hexadecacórico, tendo símbolo de Schläfli {3,3,4,3}. Consequentemente, cada uma das 16 células tem um ângulo diedral de 120°. ^[5] A tesselação dual, o favo de mel icositetracórico ({3,4,3,3}), é feito a partir do icositetrácoro (24-cell). Juntamente com o favo de mel tesserático ({4,3,3,4}), estas são as únicas pavimentações regulares em R ⁴. ^[6]. Cada hexadecácoro contém 16 vizinhos com os quais compartilha um tetraedro, 24 vizinhos com os quais compartilha apenas uma aresta e 72 vizinhos com os quais partilha apenas um único ponto.^[7][8]

Um hexadecácoro pode ser construído a partir de hélices de Boerdijk–Coxeter de 8 cadeias de tetraedros, cada uma se dobrada se tornando um anel quadridimensional. As 16 faces triangulares podem ser vistas em uma planificação 2D em um mosaico triangular, com 6 triângulos ao redor de cada vértice. As arestas em roxo representam o Polígono de Petrie do hexadecácoro. ^[9][10]

A primeira projeção paralela das células do hexadecácoro no espaço 3D tem um formato cúbico. As células mais próximas e as mais distantes são projetadas em tetraedros inscritos dentro do cubo, o que corresponde a duas maneiras possíveis para inscrever um tetraedro regular em um cubo. Ao redor de cada um destes há 4 outros tetraedros (não regulares). As demais 6 células são projetadas nas faces quadradas do cubo. Nessa projeção, todas as bordas convergem para as faces cúbicas.^[11]

A primeira projeção em perspectiva das células do hexadecácoro no espaço 3D tem o formato de um tetraedro triakis. A disposição das células neste formato são semelhantes às da projeção paralela.

A projeção paralela dos vértices das células tem um formato octaédrico. Este octaedro pode ser dividido em 8 formas tetraédricas, por corte ao longo dos planos coordenados. Cada um destes é a imagem de um par de células presentes no hexadecácoro.

A primeira projeção das arestas das células tem um formato octaédrico encurtado, e a projeção paralela tem um formato bipiramidal hexagonal. ^[12][13]

A projeção usual do hexadecácoro e suas 4 esferas que o intersectam (um diagrama de Venn de 4 dimensões) forma topologicamente um mesmo objeto no espaço 3D:

Há uma forma simétrica reduzida do hexadecácoro, chamada de demitesserato ou 4-demicubo, um membro da família dos demihipercubos. e representado por h{4,3,3}, e ou .

Há também um antiprisma tetraédrico que pode ser construído a partir de dois tetraedros paralelos em configuraç~eos duais, conectado com8 tetraedros. É representado por s{2,4,3}, e .

Também há o 4-ortótopo Snub representado por s{2^1,1,1}, e ou .Com o tesserato construído como um 4-4 duoprisma, o hexadecácoro pode ser visto com seu dual como a 4-4 duopirâmide. ^[14]

Nome	Diagrama de Coxeter	Símbolo de Schläfli	Notação de Coxeter	Ordem	Figura de vértice
Hexadecácoro regular		{3,3,4}	[3,3,4]	384
Demitesserato	= =	h{4,3,3} {3,31,1}	[31,1,1] = [1+,4,3,3]	192
4-4 duoprisma alternado		2s{4,2,4}	[[4,2+,4]]	64
antiprisma tetraédrico		s{2,4,3}	[2+,4,3]	48
prisma quadrado alternado		sr{2,2,4}	[(2,2)+,4]	16
4-ortótopo Snub	=	s{21,1,1}	[2,2,2]+ = [21,1,1]+	8
4-fusil
		{3,3,4}	[3,3,4]	384
		{4}+{4} or 2{4}	[[4,2,4]] = [8,2+,8]	128
		{3,4}+{ }	[4,3,2]	96
		{4}+2{ }	[4,2,2]	32
		{ }+{ }+{ }+{ } or 4{ }	[2,2,2]	16

Para todo polítopo vale a relação de Euler:

${\displaystyle V-A+F=C}$

Onde:

• V é o número de vértices;
• A é o número de arestas;
• F é o número de faces;
• C é o número de células.

No caso do hexadecácoro, temos:

${\displaystyle 8-24+32=16}$

A fórmula que descreve o volume do hexadecácoro em 4D é:

${\displaystyle V_{4D}={\frac {a^{4}}{6}}}$

Existem 3 fórmulas que descrevem a área superficial do hexadecácoro, em 3D, 2D e 1D:

${\displaystyle S_{3D}={\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}\ a^{3}}$

${\displaystyle S_{2D}=8{\sqrt {3}}\ a^{2}}$

${\displaystyle S_{1D}=24\ a\,}$

O raio ${\displaystyle \rho }$ da esfera inscrita é:

${\displaystyle \rho ={\frac {a}{2{\sqrt {2}}}}\,}$

O raio ${\displaystyle \rho }$ da esfera circunscrita é:

${\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {2}}}\,}$

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