Fator de escala (cosmologia)

Algumas informações sobre a expansão podem ser obtidas a partir de um modelo de expansão newtoniano que leva a uma versão simplificada da equação de Friedmann. Ele relaciona a distância adequada (que pode mudar ao longo do tempo, ao contrário da distância comóvel ${\displaystyle d_{C}}$ que é constante e definida para a distância de hoje) entre um par de objetos, por ex. dois aglomerados de galáxias, movendo-se com o fluxo de Hubble em um universo F.L.R.W. em expansão ou contração em qualquer tempo arbitrário ${\displaystyle t}$ à sua distância em algum tempo de referência ${\displaystyle t_{0}}$ . A fórmula para isso é:

${\displaystyle d(t)=a(t)d_{0},\,}$

onde ${\displaystyle d(t)}$ é a distância adequada na época ${\displaystyle t}$ , ${\displaystyle d_{0}}$ é a distância no tempo de referência ${\displaystyle t_{0}}$ , geralmente também chamada de distância comomóvel, e ${\displaystyle a(t)}$ é o fator de escala.^[3] Assim, por definição, ${\displaystyle d_{0}=d(t_{0})}$ e ${\displaystyle a(t_{0})=1}$ .

O fator de escala é adimensional, com ${\displaystyle t}$ contado desde o nascimento do universo e ${\displaystyle t_{0}}$ definido como a idade atual do universo: ${\displaystyle 13,799\pm 0,021\,\mathrm {Gyr} }$ ^{[notas 2][4]} dando o valor atual de ${\displaystyle a}$ como ${\displaystyle a(t_{0})}$ ou ${\displaystyle 1}$ .

A evolução do fator de escala é uma questão dinâmica, determinada pelas equações da relatividade geral, que são apresentadas no caso de um universo localmente isotrópico, localmente homogêneo pelas equações de Friedmann.

O parâmetro de Hubble [en] é definido como:

${\displaystyle H(t)\equiv {{\dot {a}}(t) \over a(t)}}$

onde o ponto representa uma derivada de tempo. O parâmetro de Hubble varia com o tempo, não com o espaço, com a constante de Hubble ${\displaystyle H_{0}}$ sendo seu valor atual.

Da equação anterior ${\displaystyle d(t)=d_{0}a(t)}$ pode-se ver que ${\displaystyle {\dot {d}}(t)=d_{0}{\dot {a}}(t)}$ , e também que ${\displaystyle d_{0}={\frac {d(t)}{a(t)}}}$ , então combinando-os dá ${\displaystyle {\dot {d}}(t)={\frac {d(t){\dot {a}}(t)}{a(t)}}}$ , e substituindo a definição acima do parâmetro de Hubble dá ${\displaystyle {\dot {d}}(t)=H(t)d(t)}$ que é apenas a lei de Hubble.

As evidências atuais sugerem que a expansão do universo está acelerando, o que significa que a segunda derivada do fator de escala ${\displaystyle {\ddot {a}}(t)}$ é positiva, ou equivalentemente que a primeira derivada ${\displaystyle {\dot {a}}(t)}$ está aumentando ao longo do tempo.^[5] Isso também implica que qualquer galáxia se afasta de nós com velocidade crescente ao longo do tempo, ou seja, para essa galáxia ${\displaystyle {\dot {d}}(t)}$ está aumentando com o tempo. Em contraste, o parâmetro de Hubble parece estar diminuindo com o tempo, o que significa que se olhássemos para uma distância fixa d e observássemos uma série de galáxias diferentes passando por essa distância, as galáxias posteriores passariam por essa distância a uma velocidade menor do que as anteriores.^[6]

De acordo com a métrica de Friedmann – Lemaître – Robertson – Walker que é usada para modelar o universo em expansão, se no momento recebermos luz de um objeto distante com um desvio para o vermelho de z, então o fator de escala no momento em que o objeto originalmente emitiu essa luz é ${\displaystyle a(t)={\frac {1}{1+z}}}$ .^[7][8]

Ver artigo principal: Cronologia do Universo

Após a inflação, e até cerca de 47.000 anos após o Big bang [en], a dinâmica do universo primitivo foi definida pela radiação (referindo-se geralmente aos constituintes do universo que se moviam relativisticamente, principalmente fótons e neutrinos).^[9]

Para um universo dominado por radiação, a evolução do fator de escala na métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker é obtida resolvendo as equações de Friedmann:

${\displaystyle a(t)\propto t^{1/2}.\,}$ ^[10]

Entre cerca de 47.000 anos e 9,8 bilhões de anos após o Big bang [en],^[11] a densidade de energia da matéria excedeu tanto a densidade de energia da radiação quanto a densidade de energia do vácuo.^[12]

Quando o universo primitivo tinha cerca de 47.000 anos (desvio para o vermelho 3600), a densidade de massa–energia ultrapassou a energia da radiação, embora o universo tenha permanecido opticamente espesso [en] à radiação até que o universo tivesse cerca de 378.000 anos (desvio para o vermelho 1100). Este segundo momento no tempo (próximo ao tempo de recombinação), no qual os fótons que compõem a radiação cósmica de fundo em micro-ondas foram espalhados pela última vez, é frequentemente confundido^{[neutralidade disputada]} como marcando o fim da era da radiação.

Para um universo dominado por matéria, a evolução do fator de escala na métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker é facilmente obtida resolvendo as equações de Friedmann:

${\displaystyle a(t)\propto t^{2/3}}$

Na cosmologia física, a era dominada pela energia escura é proposta como a última das três fases do universo conhecido, sendo as outras duas a era dominada pela radiação e a era dominada pela matéria. A era dominada pela energia escura começou depois da era dominada pela matéria, ou seja, quando o Universo tinha cerca de 9,8 bilhões de anos.^[13] Na era da inflação cósmica, o parâmetro de Hubble também é considerado constante, então a lei de expansão da era dominada pela energia escura também vale para a prequela inflacionária do Big bang.

A constante cosmológica recebe o símbolo Λ e, considerada como um termo fonte na equação de campo de Einstein, pode ser vista como equivalente a uma "massa" de espaço vazio, ou energia escura. Como esta aumenta com o volume do universo, a pressão de expansão é efetivamente constante, independente da escala do universo, enquanto os outros termos diminuem com o tempo. Assim, como a densidade de outras formas de matéria – poeira e radiação – cai para concentrações muito baixas, o termo constante cosmológica (ou "energia escura") acabará por dominar a densidade de energia do Universo. Medições recentes da mudança na constante de Hubble com o tempo, baseadas em observações de supernovas distantes, mostram essa aceleração na taxa de expansão,^[14] indicando a presença dessa energia escura.

Para um universo dominado pela energia escura, a evolução do fator de escala na métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker é facilmente obtida resolvendo as equações de Friedmann:

${\displaystyle a(t)\propto \exp(H_{0}t)}$

Aqui, o coeficiente ${\displaystyle H_{0}}$ no exponencial, a constante de Hubble, é

${\displaystyle H_{0}={\sqrt {8\pi G\rho _{\mathrm {full} }/3}}={\sqrt {\Lambda /3}}.}$

Essa dependência exponencial do tempo torna a geometria do espaço-tempo idêntica ao universo de De Sitter, e só vale para um sinal positivo da constante cosmológica, que é o caso de acordo com o valor atualmente aceito da constante cosmológica, Λ, que é aproximadamente 2 · 10⁻³⁵ s⁻².. A densidade atual do universo observável é da ordem de 9,44 · 10⁻²⁷ kg m⁻³ e a idade do universo é da ordem de 13,8 bilhões de anos, ou 4,358 · 10¹⁷ s. A constante de Hubble, ${\displaystyle H_{0}}$ , é ≈70,88 km s⁻¹ Mpc⁻¹ (o tempo de Hubble é 13,79 bilhões de anos).

• Desvio para o vermelho
• Modelo de matéria escura fria lambda
• Princípio cosmológico

• Padmanabhan, Thanu (1993). Structure formation in the universe (em inglês). Cambridge: Cambridge university press. ISBN 978-0-521-42486-8 
• Spergel, D. N.; et al. (2003). «First-year Wilkinson microwave anisotropy probe (W.M.A.P.) observations: Determination of cosmological parameters». Astrophysical journal supplement (em inglês). 148 (1): 175 – 194. Bibcode:2003ApJS..148..175S. CiteSeerX 10.1.1.985.6441 . arXiv:astro-ph/0302209 . doi:10.1086/377226 

• Relação do fator de escala com a constante cosmológica e a constante de Hubble (em inglês)

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