Diagrama de Venn

Os diagramas adotam o nome do seu criador John Venn, matemático e filósofo britânico do século XIX. Foi estudante e mais tarde professor no Caius College da Universidade de Cambridge, onde viria a desenvolver toda sua obra teórica.^[12]

Venn introduziu os diagramas em um trabalho de lógica formal publicado em Julho de 1880 na Philosophical Magazine and Journal of Science, intitulado Da representação mecânica e diagramática de proposições e raciocínios.^[5][13][14]

Embora a primeira forma de representação geométrica de silogismos seja frequentemente atribuída a Leibniz, e tenha sido retomada já durante o século XIX pelos matemáticos George Boole e Augustus De Morgan, o método de Venn superava os sistemas anteriores em termos de clareza e simplicidade, ao ponto de ser aceite como método padrão ao fim de algum tempo. Venn foi o primeiro a formalizar o seu uso e a dotá-lo de um mecanismo de generalização.^[12]

O próprio Venn não se referia aos diagramas como sendo da sua autoria, mas sim como círculos eulerianos, fazendo referência aos diagramas criados por Leonhard Euler no século XVIII.^[15] No parágrafo introdutório do seu artigo, Venn afirma:

Esquemas de representação diagramática tem sido tão familiarmente introduzidos nos tratados de lógica durante o último século que se pode supor que muitos leitores, mesmo aqueles que não fizeram qualquer estudo profissional de lógica, possam ter familiaridade com a noção geral de tais objetos. Dentre tais esquemas, apenas um - aquele comummente chamado 'círculos eulerianos', encontrou aceitação geral... (tradução livre)^[13]

Mais tarde, Venn desenvolveu o método no livro Lógica simbólica, publicado em 1881 com o objetivo de interpretar e corrigir os trabalhos de Boole no campo da lógica formal. Em 1889, publicou uma nova expansão de seu trabalho, com o livro Princípios da lógica empírica.^[12] A primeira referência escrita conhecida do termo Diagrama de Venn surge apenas em 1918, no livro de Clarence Irving Lewis, A Survey of Symbolic Logic.^[16][17]

No século XX, os diagramas de conjuntos passaram por novos desenvolvimentos. D. W. Henderson demonstrou em 1963 que a existência de um diagrama de Venn para N conjuntos com N eixos de simetria implica que N deve ser um número primo.^[18] Também demonstrou que tais diagramas simétricos existem quando N é 5 ou 7. Em 2002, Peter Hamburger encontrou diagramas simétricos para N = 11 e, em 2003, Griggs, Killian e Savage mostraram que diagramas simétricos existem para todos os outros primos.^[19]

A partir da década de 1960, os diagramas de Venn foram introduzidos no ensino escolar de matemática, na aprendizagem da teoria dos conjuntos e de funções, como parte do movimento da Matemática Moderna. Desde então, seu uso foi amplamente difundido, em áreas tão distintas como a compreensão de textos.^[9]

Os diagramas de Venn são feitos com coleções de curvas fechadas contidas em um plano. O interior dessas curvas representa, simbolicamente, a coleção de elementos do conjunto. De acordo com Clarence Irving Lewis, o "princípio desses diagramas é que classes [ou conjuntos] sejam representadas por regiões, com tal relação entre si que todas as relações lógicas possíveis entre as classes possam ser indicadas no mesmo diagrama. Isto é, o diagrama deixa espaço para qualquer relação possível entre as classes, e a relação dada ou existente pode então ser definida indicando se alguma região em específico é vazia ou não-vazia".^[20]

Pode-se escrever uma definição mais formal do seguinte modo: Seja ${\displaystyle {\textbf {C}}=(C_{1},C_{2},\ldots C_{n})}$ uma coleção de curvas fechadas simples desenhadas em um plano. C é uma família independente se a região formada por cada uma das interseções ${\displaystyle X_{1}\cap X_{2}\cap \ldots \cap X_{n}}$ , onde cada ${\displaystyle X_{i}}$ é o interior ou o exterior de ${\displaystyle C_{i}}$ , é não-vazia, em outras palavras, se todas as curvas se intersectam de todas as maneiras possíveis. Se, além disso, cada uma dessas regiões é conexa e há apenas um número finito de pontos de interseção entre as curvas, então C é um diagrama de Venn para n conjuntos.^[5][21]

Nos casos mais simples, os diagramas são representados por círculos que se encobrem parcialmente. As partes referidas em um enunciado específico são marcadas com uma cor diferente.^[5] Eventualmente, os círculos são representados como completamente inseridos dentro de um retângulo, que representa o conjunto universo daquele particular contexto (já se buscou a existência de um conjunto universo que pudesse abranger todos os conjuntos possíveis, mas Bertrand Russell mostrou que tal tarefa era impossível—ver paradoxo de Russell). A ideia de conjunto universo é normalmente atribuída a Lewis Carroll.^[22]

Ver artigo principal: Conjunto#Operações com conjuntos

Considere-se o seguinte exemplo à direita: suponha-se que o conjunto A (círculo amarelo) representa os animais bípedes e o conjunto B (círculo azul) representa os animais capazes de voar. A área onde os dois círculos se sobrepõem, designada por interseção A e B ou interseção A-B, conteria todas as criaturas que ao mesmo tempo podem voar e têm apenas duas pernas motoras.

Considere-se agora que cada espécie viva está representada por um ponto situado em alguma parte do diagrama. Os humanos e os pinguins seriam marcados dentro do círculo laranja, na parte dele que não se sobrepõe com o círculo azul, já que ambos são bípedes mas não podem voar. Os mosquitos, que voam mas têm seis pernas, seriam representados dentro do círculo azul e fora da sobreposição. Os canários, por sua vez, seriam representados na interseção A-B, já que são bípedes e podem voar. Qualquer animal que não fosse bípede nem pudesse voar, como baleias ou serpentes, seria marcado por pontos fora dos dois círculos.

Assim, o diagrama de dois conjuntos representa quatro áreas distintas (a que fica fora de ambos os círculos, a parte de cada círculo que pertence a ambos os círculos (i.e. onde há sobreposição), e as duas áreas que não se sobrepõem, mas estão em um círculo ou no outro):^[23][24]

• Animais que possuem duas pernas e não voam (laranja sem sobreposição);
• Animais que voam e não possuem duas pernas (azul sem sobreposição);
• Animais que possuem duas pernas e voam (sobreposição);
• Animais que não possuem duas pernas e não voam (branco).

Essas configurações são representadas, respectivamente, pelas operações de conjuntos: diferença de A para B, diferença de B para A, interseção entre A e B, e conjunto complementar de A e B. Cada uma delas pode ser representada como as seguintes áreas vermelhas no diagrama:

• 
  Diferença
  de A para B:
  ${\displaystyle A\setminus B}$
• 
  Diferença
  de B para A:
  ${\displaystyle B\setminus A}$
• 
  Interseção de dois conjuntos:^[25]
  ${\displaystyle ~A\cap B}$
• 
  Complementar
  de dois conjuntos: ${\displaystyle U\setminus (A\cup B)}$

Além disso, essas quatro áreas podem ser combinadas de 16 formas diferentes.^[26] Por exemplo, pode-se perguntar sobre os animais que voam ou tem duas patas (pelo menos uma das características); tal conjunto seria representado pela união de A e B. Já os animais que voam e não possuem duas patas mais os que não voam e possuem duas patas, seriam representados pela diferença simétrica entre A e B. Estes exemplos são mostrados nas imagens a seguir, que incluem também outros dois casos.

• 
  União de dois conjuntos:^[25]
  ${\displaystyle ~A\cup B}$
• 
  Diferença simétrica
  de dois conjuntos: ${\displaystyle A~\Delta ~B}$
• 
  Complementar
  de A em U:${\displaystyle A^{c}~=~U\setminus A}$
• 
  Complementar
  de B em U: ${\displaystyle B^{c}~=~U\setminus B}$

Na sua apresentação inicial, Venn focou-se sobretudo nos diagramas de três conjuntos.^[13] Alargando o exemplo anterior, poderia-se introduzir o conjunto C dos animais que possuem bico. Neste caso, o diagrama define oito áreas distintas (primeira imagem a seguir),^[23] que podem combinar-se de 256 (2⁸) maneiras diferentes,^[27] algumas delas ilustradas nas imagens seguintes.

• 
  Diagrama de Venn mostrando todas as interseções possíveis entre A, B e C.
• 
  União de três conjuntos:
  ${\displaystyle ~A\cup B\cup C}$
• 
  Interseção de três conjuntos:
  ${\displaystyle ~A\cap B\cap C}$
• 
  ${\displaystyle A\setminus (B\cup C)}$
• 
  ${\displaystyle (B\cup C)\setminus A}$

Para representar quatro ou mais conjuntos, torna-se difícil fazer uma figura simples e simétrica que mostre todas as possibilidades de interseção. É fácil perceber que não é possível faze-lo apenas com círculos, sendo necessário recorrer a outras formas de representação gráfica.

Ao longo da sua vida, Venn procurou encontrar formas de diagramas capazes de representar mais do que três conjuntos, a que se referia como "figuras simétricas ... elegantes por si só".^[13] A sua primeira representação para quatro conjuntos foi a interseção de elipses com base no diagrama de três círculos.^[13] Desenvolveu também um método geral para qualquer número de conjuntos, em que cada curva sucessiva delimita um conjunto que perpassa todos os outros.^[13]

• 
  O diagrama acima com quatro círculos não é um diagrama de Venn, porque nem todas as regiões possíveis são representadas. Por exemplo, não há uma região em que apenas o círculo azul e o amarelo se intersetem.
• 
  Construção de Venn para representar quatro conjuntos com quatro elipses.
• 
  Diagrama de Venn para cinco conjuntos usando elipses congruentes em um arranjo radialmente simétrico, desenvolvido por Branko Grünbaum. A legenda foi simplificada para melhorar a legibilidade. Por exemplo, A denota A ∩ B^c ∩ C^c ∩ D^c ∩ E^c (ou A ∩ ~B ∩ ~C ∩ ~D ∩ ~E), enquanto BCE denota A^c ∩ B ∩ C ∩ D^c ∩ E (ou ~A ∩ B ∩ C ∩ ~D ∩ E).
• 
  Construção geral de Venn para 4 conjuntos
• 
  Construção geral de Venn para 5 conjuntos
• 
  Construção geral de Venn para 6 conjuntos

Anthony W. F. Edwards também desenvolveu um método para diagramas de Venn com números arbitrários de conjuntos, usando projeção estereográfica.^[28] Por exemplo, pode-se representar três conjuntos tomando três hemisférios de uma esfera, em ângulos retos (x=0, y=0 y z=0). Para adicionar um quarto conjunto, pode-se desenhar uma curva similar à junção de uma bola de tênis. Os conjuntos resultantes podem ser projetados novamente sobre o plano para mostrar diagramas de engrenagens, com quantidades cada vez maiores de dentes.^[29]

• 
  Diagrama de Edwards para três conjuntos.
• 
  Diagrama de Edwards para quatro conjuntos.
• 
  Diagrama de Edwards para cinco conjuntos.
• 
  Diagrama de Edwards para seis conjuntos.

Os diagramas de Edwards são topologicamente equivalentes aos diagramas desenhados por Branko Grünbaum, que se baseiam em polígonos intersetados, com quantidades crescentes de lados.^[21] Phillip Smith montou diagramas similares para n conjuntos, usando curvas senoidais em equações da forma y=sin(2ⁱx)/2ⁱ, 0 ≤i ≤n-2.^[30]

Outra maneira de representar diagramas usando computadores é por meio de sólidos de dimensão superior.^[31] Abaixo, quatro esferas intersetadas, em uma figura completamente simétrica. As 16 interseções correspondem aos vértices de um tesserato.^[32]

Os diagramas de Euler, criados antes dos diagramas de Venn,^[33] são similares a estes, usando normalmente círculos intersetados; sua diferença é que eles não precisam mostrar todas as possíveis relações, mas apenas as relações específicas de cada problema. Isso torna a representação, na maioria dos casos, visualmente mais simples.^[34]

Por exemplo, chamando-se de A o conjunto de todas as marcas de chocolate, de B todas as marcas de comida e de C todas as marcas de querosene, é fútil usar um diagrama de Venn. Sabe-se que todos os chocolates são comestíveis, então A é um subconjunto de B; por outro lado, sabe-se que nenhum querosene é comestível, então a interseção entre B e C (e consequentemente entre A e C) é nula. Assim, o diagrama de Euler ao lado é uma figura mais explicativa.

Os diagramas de Johnston são visualmente iguais aos de Venn, mas, em vez de conjuntos, são utilizados para representar proposições e suas operações lógicas.^[36][37][38] Assim, sendo A e B duas sentenças, a interseção entre os círculos representa a sentença A e B, enquanto a união representa a sentença A ou B e o conjunto complementar a ambos representa nem A nem B.^[39][40]

Ver artigo principal: Mapa de Karnaugh

Os Mapas de Karnaugh ou Diagramas de Veitch são outra forma de representar visualmente expressões de álgebra booleana.^[41]

Os diagramas de Peirce, criados por Charles Peirce, são extensões dos diagramas de Venn, que incluem informações sobre afirmações existenciais, disjuntivas, de probabilidade e outras.^[42]

O diagrama de Venn também é usado em Sistemas Digitais para a representação de funções lógicas de circuitos. Usamos o preenchimento colorido para representar onde o resultado da função será 1 (com energia), ou sem preenchimento quando o resultado for 0(sem energia). Onde temos:

• 
  Constante 1
• 
  Constante 0

Em sistemas digitais o diagrama de Venn é usado para a representação de circuitos, como:

S = (/A . B ) + C

O resultado dessa expressão utilizando o diagrama é obtido da seguinte maneira:

• 1º Passo: Fragmentar a expressão em varias expressões menores: S1 = (/A . B ) e S2 = C;
• 2º Passo: Montar o diagrama de Venn para S1 e S2:

• 
  S1 = /A . B
• 
  S2 = C

• 3º Passo: Unir os dois diagramas para chegar ao resultado da Expressão:

• 
  S = S1 + S2 = (/A . B ) + C

Seguindo esses três passos, conseguimos a representação gráfica do resultado de qualquer função logica.

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