Cosseno hiperbólico

O cosseno hiperbólico é uma função hiperbólica, assim chamadas pois a parametrização de curvas em cosh e senh originam hipérboles, enquanto que as funções trigonométricas dão origem a circunferências. Sua fórmula é a seguinte:^[1]

${\displaystyle \cosh(bt)={e^{bt}+e^{-bt} \over 2}}$

Tal função é obtida a partir da representação da função ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ da seguinte forma:

${\displaystyle e^{x}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}+{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$

em que o primeiro termo é o cosseno hiperbólico e o segundo termo é o seno hiperbólico.

O gráfico da função cosseno hiperbólico é a catenária.^[2]

Estendendo-se o conceito de cosseno para o corpo dos números complexos através da Série de Taylor, verificam-se as seguintes equivalências:

${\displaystyle \cosh(t)=\cos(it)\,}$

${\displaystyle \cos(t)=\cosh(it)\,}$

Onde i é a unidade imaginária.

Relações importantes (para t real):^[3]

${\displaystyle (\operatorname {senh} (t)+\cosh(t))^{m}=(e^{t})^{m}=e^{mt}=\operatorname {senh} (mt)+\cosh(mt)}$

${\displaystyle e^{2t}=\left({\frac {sinh(t)+cosh(t)}{cosh(t)-sinh(t)}}\right)}$

${\displaystyle e^{2t}=(sinh(t)+cosh(t))^{2}}$

${\displaystyle \cosh ^{2}(t)-\operatorname {senh} ^{2}(t)=1}$

${\displaystyle e^{-t}(sinh(t)+cosh(t))=1}$

${\displaystyle e^{t}(sinh(t)-cosh(t))=-1}$

Demonstração da relação 3:

${\displaystyle \cosh ^{2}(t)-\operatorname {senh} ^{2}(t)=\left({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {e^{2t}+2+e^{-2t}}{4}}\right)-\left({\frac {e^{2t}-2+e^{-2t}}{4}}\right)={\frac {4}{4}}=1}$