Algoritmo Doomsday

A tabela é preenchida horizontalmente, pulando uma coluna para cada ano bissexto. Esta tabela tem um ciclo de 28 anos, exceto no calendário gregoriano nos anos que são múltiplos de 100 (como 1900 e 2100, que não são anos bissextos) e que também não são múltiplos de 400 (como 2000, que ainda é um ano bissexto). Logo, o ciclo completo é de 28 anos (1.461 semanas) no calendário juliano, 400 anos (20.871 semanas) no calendário gregoriano.

Pode-se encontrar o dia da semana de uma determinada data do calendário usando o dia do juízo final do mês em questão. Para ajudar com isso, logo abaixo temos uma lista de datas fáceis de lembrar para cada mês, que sempre caem no dia do juízo final.

Como mencionado acima, o último dia de fevereiro é a base de definiçao do dia do juízo final do ano. Para janeiro, 3 de janeiro é um dia do juízo final durante os anos comuns e 4 de janeiro é o dia do juízo final durante os anos bissextos, que pode ser lembrado como "é 3 durante 3 anos em 4, e 4 no 4º ano". Para março, pode-se lembrar da pseudodata "0 de março", que pode ser considerada como sendo o dia anterior a 1º de março, ou seja, o último dia de fevereiro (dia-base, como visto acima).

Para os meses de abril a dezembro, os meses pares têm como datas de juízo final as datas duplas 4/4, 6/6, 8/8, 10/10 e 12/12. Os meses ímpares podem ser lembrados com o mnemônico "Eu trabalho das 9 às 5 no 7-11 ", ou seja, 5/9, 11/7 e também 9/5 e 7/11, são todos dias do juízo final.^[7]

Para saber em que dia da semana caiu o Natal de 2021, proceda da seguinte forma: no ano de 2021, o dia-âncora é domingo (tabela de anos acima). Já que 12 de dezembro é um dia do juízo final, 25 de dezembro, treze dias depois (duas semanas menos um dia), cairá em um sábado. O dia de Natal é sempre um dia antes do dia do juízo final. Além disso, 4 de julho (Dia da Independência dos EUA) é sempre um dia do juízo final, assim como o Halloween (31 de outubro), Dia do Pi (14 de março) e Boxing Day (26 de dezembro).

O primeiro passo do algoritmo é encontrar o dia-âncora para o século. Para efeitos da regra do juízo final, um século começa com o ano terminado em 00 e termina com o ano terminado em 99. A tabela a seguir mostra o dia-âncora dos séculos 1600s, 1700s, 1800s, 1900s, 2000s, 2100s e 2200s.

Os valores acima para os dias-âncora foram obtidos através da fórmula matemática: 5 × (c mod 4) mod 7 + terça-feira = âncora. Seja r = c mod 4:

• se r = 0 então âncora = terça-feira
• se r = 1 então âncora = domingo
• se r = 2 então âncora = sexta-feira
• se r = 3 então âncora = quarta-feira

O que está de acordo com a tabela acima.

6c mod 7 + domingo = âncora.

Nota: c = ⌊ano100⌋

Após o cálculo do dia-âncora do século, partimos para encontrar o dia-âncora do ano. Para conseguir isso, de acordo com Conway:^[9]

1. Divida os dois últimos dígitos do ano (chame isso de y ) por 12 e seja a o parte inteira do quociente.
2. Seja b o resto do mesmo quociente.
3. Divida esse resto por 4 e seja c a parte inteira do quociente.
4. Seja d a soma dos três números ( d = a + b + c ). (É novamente possível aqui dividir por sete e tirar o resto. Esse número é equivalente, como deve ser, à soma dos dois últimos dígitos do ano somados mais a parte inteira desses dígitos dividido por quatro.)
5. Conte o número especificado de dias ( d ou o resto de ${\displaystyle {\frac {d}{7}}}$ ) a partir do dia-âncora para obter o dia-âncora do ano.

${\displaystyle {\begin{matrix}\left({\left\lfloor {\frac {y}{12}}\right\rfloor +y{\bmod {1}}2+\left\lfloor {\frac {y{\bmod {1}}2}{4}}\right\rfloor }\right){\bmod {7}}+{\rm {{{\hat {a}}ncora}={\rm {{\hat {a}}ncora\ do\ ano}}}}\end{matrix}}}$

Para o ano de 1966 do séc. XX, por exemplo:

${\displaystyle {\begin{matrix}\left({\left\lfloor {\frac {66}{12}}\right\rfloor +66{\bmod {1}}2+\left\lfloor {\frac {66{\bmod {1}}2}{4}}\right\rfloor }\right){\bmod {7}}+{\rm {quarta-feira}}&=&\left(5+6+1\right){\bmod {7}}+{\rm {quarta-feira}}\\\ &=&{\rm {segunda-feira}}\end{matrix}}}$

Conforme descrito no item 4, acima, isso equivale a:

${\displaystyle {\begin{matrix}\left({66+\left\lfloor {\frac {66}{4}}\right\rfloor }\right){\bmod {7}}+{\rm {quarta-feira}}&=&\left(66+16\right){\bmod {7}}+{\rm {quarta-feira}}\\\ &=&{\rm {segunda-feira}}\end{matrix}}}$

Portanto, o dia-âncora de 1966 é segunda-feira.

De forma parecida, o dia-âncora de 2005 é uma segunda-feira, pois:

${\displaystyle \left({\left\lfloor {\frac {5}{12}}\right\rfloor +5{\bmod {1}}2+\left\lfloor {\frac {5{\bmod {1}}2}{4}}\right\rfloor }\right){\bmod {7}}+{\rm {{terca-feira}={\rm {segunda-feira}}}}}$

O cálculo do dia-âncora do algoritmo é feito calculando o número de dias entre qualquer data no ano-base 00 do século e a mesma data no ano atual, calculando o módulo 7. Quando ambas as datas vêm após o dia bissexto (se houver), a diferença é de apenas 365y + y4 (arredondando pra baixo). Mas 365 é igual a 52 x 7 + 1, então, após calcular o módulo, o resultado é

${\displaystyle \left(y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor \right){\bmod {7}}.}$

Isso fornece uma fórmula mais simples, se a pessoa se sentir mais confortável ao dividir grandes valores de y por 4 e 7. Por exemplo, podemos calcular

${\displaystyle \left(66+\left\lfloor {\frac {66}{4}}\right\rfloor \right){\bmod {7}}=(66+16){\bmod {7}}=82{\bmod {7}}=5}$

que dá a mesma resposta do exemplo acima.

Onde 12 entra é que o padrão de (y + ⌊y4⌋) mod 7 quase se repete a cada 12 anos. Após 12 anos, nós temos (12 + 124) mod 7 = 15 mod 7 = 1. Se substituirmos ${\displaystyle y}$ por ${\displaystyle y{\bmod {12}}}$ , nós tiramos este dia extra do cômputo, adicionando novamente por meio de ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {y}{12}}\right\rfloor }$ adiante, essa retirada é compensada, resultando na fórmula final acima.

Um método mais simples para encontrar o dia-âncora do ano foi descoberto em 2010 por Chamberlain Fong e Michael K. Walters,^[10] e descrito em seu artigo submetido ao 7º Congresso Internacional de Matemática Industrial e Aplicada (2011). Chamado de método "ímpar + 11", é equivalente^[11] ao cálculo

${\displaystyle \left(y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor \right){\bmod {7}}}$ .

É adequado para cálculo mental, porque não requer divisão por 4 (ou 12), e o procedimento é fácil de lembrar devido ao uso repetido da regra "ímpar + 11". Além disso, a adição por 11 é fácil de realizar mentalmente na aritmética de base 10.

Estendendo isso para obter o dia-âncora, o procedimento é feito por meio da atualização de uma variável T em seis etapas, como segue:

1. Seja T os dois últimos dígitos do ano.
2. Se T for ímpar, adicione 11.
3. Agora faça T = T2
4. Se T for ímpar, adicione 11.
5. Faça ${\displaystyle T=7-(T{\bmod {7}})}$
6. Conte T dias a partir do dia-âncora do século para obter o dia-âncora do ano.

Aplicando este método ao ano de 2005, por exemplo, os passos seriam:

1. T = 5
2. T = 5 + 11 = 16 (adicionamos 11 porque T é ímpar)
3. T = 162 = 8
4. T = 8 (não fazer nada, já que T é par)
5. T = 7 − (8 mod 7) = 7 − 1 = 6
6. Dia-âncora para 2005 = 6 + terça-feira (dia-âncora do século XXI) = segunda-feira

A fórmula explícita para o método ímpar+11 é:

${\displaystyle 7-\left[{\frac {y+11(y\,{\bmod {2}})}{2}}+11\left({\frac {y+11(y\,{\bmod {2}})}{2}}{\bmod {2}}\right)\right]{\bmod {7}}}$ .

Embora essa expressão pareça assustadora e complicada, na verdade ela é simples^[11] por causa da parte y + 11(y mod 2)2, que somente precisa ser calculada uma vez.

Sempre que for necessário somar 11, subtrair 17 produz o mesmo resultado. Embora subtrair 17 possa parecer mais difícil de realizar mentalmente do que somar 11, há casos em que subtrair 17 é mais fácil, especialmente quando o número é um número de dois dígitos que termina em 7 (como 17, 27, 37, ..., 77, 87 e 97).

O algoritmo do dia do juízo final está relacionado com a letra dominical do ano da seguinte forma.

Procure na tabela abaixo a carta dominical (DL).

Por exemplo, para o ano de 2017, a letra dominical é A - 0 = A.

Para uso em computação, as seguintes fórmulas para o dia-âncora de um ano são convenientes.

Para o calendário gregoriano:

${\displaystyle {\rm {{dia\ {\hat {a}}ncora}={\rm {{terca-feira}+y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {y}{400}}\right\rfloor ={\rm {{terca-feira}+5\times (y{\bmod {4}})+4\times (y{\bmod {1}}00)+6\times (y{\bmod {4}}00)}}}}}}}$

Por exemplo, o dia-âncora de 2009 é sábado no calendário gregoriano, pois

${\displaystyle {\rm {{s{\acute {a}}bado\ (6)}{\bmod {7}}={\rm {{terca-feira\ (2)}+2009+\left\lfloor {\frac {2009}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {2009}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2009}{400}}\right\rfloor }}}}}$

Outro exemplo, o dia-âncora de 1946 é quinta-feira, já que

${\displaystyle {\rm {{quinta-feira\ (5)}{\bmod {7}}={\rm {{terca-feira\ (2)}+1946+\left\lfloor {\frac {1946}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {1946}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {1946}{400}}\right\rfloor }}}}}$

Para o calendário juliano:

${\displaystyle {\rm {{dia\ {\hat {a}}ncora}={\rm {{domingo}+y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor ={\rm {{domingo}+5\times (y{\bmod {4}})+3\times (y{\bmod {7}})}}}}}}}$

Os cálculos acima também se aplicam ao calendário gregoriano prolético e ao calendário juliano prolético. Elas usam a função parte inteira e a numeração do ano astronômico para os anos AC.

Como no calendário gregoriano há 146.097 dias, ou exatamente 20.871 semanas de sete dias, em 400 anos, o ciclo se repete a cada quatro séculos. Por exemplo, o dia-âncora dos 1700s é o mesmo que o dia-âncora dos 2100s, Domingo.

O ciclo completo de 400 anos dos dias do juízo final é dado na tabela. Os séculos são para o calendário gregoriano e gregoriano proléptico, a menos que sejam marcados com um J para juliano. As linhas dos anos bissextos gregorianos são as destacadas na tabela.

Anos negativos usam numeração de ano astronômico. O ano 25 AEC é −24, mostrado na coluna de −100J (juliano proléptico) ou −100 (gregoriano proléptico), na linha 76.

Um ano bissexto com a segunda-feira como dia-âncora significa que o domingo é um dos 97 dias pulados na sequência de 400 anos. Assim, o número total de anos com domingo como dia- âncora é 71 menos o número de anos bissextos com segunda-feira como dia do juízo final, etc. Como a segunda-feira como dia-âncora é pulada em 29 de fevereiro de 2000 e o padrão de dias bissextos é simétrico em relação a esse dia bissexto, as frequências de dias-âncora por dia da semana (adicionando anos comuns e bissextos) são simétricas em relação à segunda-feira. As frequências dos dias-âncora dos anos bissextos por dia da semana são simétricas em relação ao dia-âncora de 2000, terça-feira.

A frequência de uma determinada data em um determinado dia da semana pode ser facilmente derivada do exposto acima (para uma data de 1º de janeiro a 28 de fevereiro, relacione-a com o dia-âncora do ano anterior).

Por exemplo, 28 de fevereiro é um dia após o dia-âncora do ano anterior, então é 58 vezes cada na terça, quinta e domingo, etc. 29 de fevereiro é o dia-âncora de um ano bissexto, então é 15 vezes cada na segunda e quarta etc.

Em relação à frequência dos dias do juízo final em um ciclo juliano de 28 anos, há 1 ano bissexto e 3 anos comuns para cada dia da semana, o último 6, 17 e 23 anos após o primeiro (portanto, com intervalos de 6, 11, 6 e 5 anos; não distribuído uniformemente porque após 12 anos o dia é pulado na sequência dos dias do juízo final). O mesmo ciclo se aplica a qualquer data a partir de 1º de março caindo em um determinado dia da semana.

Para qualquer data até 28 de fevereiro cair em um determinado dia da semana, os 3 anos comuns são 5, 11 e 22 anos após o ano bissexto, portanto, com intervalos de 5, 6, 11 e 6 anos. Assim, o ciclo é o mesmo, mas com o intervalo de 5 anos depois, em vez de antes do ano bissexto.

Assim, para qualquer data, exceto 29 de fevereiro, os intervalos entre os anos comuns que caem em um determinado dia da semana são 6, 11, 11.

Para 29 de fevereiro cair em um determinado dia da semana, só há uma ocorrência disto acada 28 anos e, é claro, em um ano bissexto.

O calendário gregoriano está atualmente alinhado com precisão com eventos astronômicos, como solstícios. Em 1582, essa modificação do calendário juliano foi instituída pela primeira vez. Para corrigir o desvio do calendário, 10 dias foram pulados, então o dia do juízo final retrocedeu 10 dias (ou seja, 3 dias): quinta-feira, 4 de outubro (juliano, dia do juízo final é quarta-feira) foi seguido por sexta-feira, 15 de outubro (gregoriano, dia do juízo final é domingo). A tabela inclui os anos do calendário juliano, mas o algoritmo é apenas para o calendário gregoriano e proléptico gregoriano.

Há de se observar que o calendário gregoriano não foi adotado simultaneamente em todos os países; portanto, por muitos séculos, diferentes regiões usaram datas diferentes para o mesmo dia.

Suponha que queremos saber em que dia da semana caiu 18 de setembro de 1985. Começamos com o dia-âncora do século, quarta-feira. Depois desse passo, adicione a, b e c, calculados conforme acima:

• a é a parte de inteira de 8512, que é 7.
• b é igual a 85 mod 12, resultando em 1.
• c é a parte inteira de b4, sendo igual a 0.

Isso produz a + b + c = 8. Contando 8 dias a partir de quarta-feira, chegamos a quinta-feira, que é o dia-âncora de 1985. (Usando números: na aritmética do módulo 7, 8 é congruente a 1. Como o dia-âncora do século é quarta-feira (índice 4) e 4 + 1 = 5, o dia-âncora de 1985 é quinta-feira (índice 5). ) Agora comparamos 18 de setembro com um dia do juízo final próximo, 5 de setembro. Vemos que o dia 18 é 13 dias após este dia do juízo final, ou seja, duas semanas menos um dia. Portanto, o dia 18 foi uma quarta-feira (dia anterior à quinta-feira). (Usando números: na aritmética do módulo 7, 13 é congruente com 6 ou, mais sucintamente, -1. Assim, tiramos um do dia do juízo final, quinta-feira, para descobrirmos que 18 de setembro de 1985 foi uma quarta-feira.)

Suponha que queremos encontrar o dia da semana em que a Guerra Civil Americana se iniciou em Fort Sumter, que foi 12 de abril de 1861. Dessa vez, não vamos usar a tabela de dia-âncora do século, calculando este por meio da fórmula do parágrafo "Calculando dias-âncora". Temos ${\displaystyle c=18}$ e ${\displaystyle r=c{\bmod {4}}=18{\bmod {4}}=2}$ . Logo, o dia-âncora do século é ${\displaystyle (5\times 2){\bmod {7}}+{\textrm {terca-feira}}={\textrm {sexta-feira}}}$ . Os dígitos finais 61 fornecem um deslocamento de seis dias em relação ao dia-âncora do século, pois ${\displaystyle {\begin{matrix}\left({\left\lfloor {\frac {61}{12}}\right\rfloor +61{\bmod {1}}2+\left\lfloor {\frac {61{\bmod {1}}2}{4}}\right\rfloor }\right){\bmod {7}}=(5+1+0){\bmod {7}}=6\end{matrix}}}$

então o dia-âncora de 1861 é quinta-feira (âncora do século, sexta-feira, mais 6 dias). Logo, 4 de abril foi uma quinta-feira, sendo que 12 de abril, 8 dias depois, foi uma sexta-feira.

• Computus - Algoritmo de Gauss para cálculo da data da Páscoa
• Congruência de Zeller - Um algoritmo (1882) para calcular o dia da semana para qualquer data do calendário juliano ou gregoriano.
• Cálculo mental

• Enciclopédia de Cálculo de Dias da Semana por Hans-Christian Solka, 2010
• Calculadora do Juízo Final que também "mostra todo o trabalho"
• Recordes mundiais para calcular mentalmente o dia da semana no calendário gregoriano
• Registros nacionais para encontrar datas do calendário
• Ranking Mundial de Datas do Calendário Mental Memoriad (todas as competições combinadas)
• Qual é o dia da semana, dada qualquer data?
• Algoritmo do Juízo Final
• Encontrando o dia da semana
• Poem explaining the Doomsday rule no Wayback Machine (arquivado em outubro 18, 2006)