Índice múltiplo

A notação matemática de índices múltiplos simplifica a formulação utilizada em cálculo com múltiplas variáveis, equações diferenciais parciais e na teoria das distribuições. Ela consiste na generalização de um índice inteiro para ordenar índices de tuplas.^[1]

Definição

Um índice múltiplo n-dimensional é uma n-tupla da forma

\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})

de inteiros não negativos. Para índices múltiplos $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ e $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ se define:

Soma e diferença

\alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})

Conjunto parcialmente ordenado

\alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}

Soma de componentes

|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}

Fatorial

\alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!

Coeficiente binomial

{\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}

Teorema multinomial

{\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}

onde

|\alpha |=k\,

Exponenciação

x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}

Derivada parcial

\partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}

onde

\partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}

Referências

Ligações externas

Este artigo incorpora material de Índice múltiplo do PlanetMath, que é licenciado sob GFDL.

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