Zbiór borelowski

Niech ${\displaystyle (X,\tau )}$ będzie przestrzenią topologiczną. Zbiór borelowski definiuje się jako element należący do najmniejszego σ-ciała przestrzeni ${\displaystyle X}$ generowanego przez którąś z niżej wymienionych rodzin podzbiorów:

1. rodzinę podzbiorów otwartych w ${\displaystyle X}$ (tzn. rodzinę ${\displaystyle \tau }$ ),
2. rodzinę podzbiorów domkniętych w ${\displaystyle X,}$
3. rodzinę podzbiorów zwartych w ${\displaystyle X.}$

Definicje 1. i 2. są równoważne. Definicja 3. nie jest równoważna z poprzednimi: można podać przykłady przestrzeni topologicznych, w których odpowiednie σ-ciała zbiorów są różne (na przykład przestrzeń Baire’a ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$ albo zbiór liczb niewymiernych ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ ). Definicje te pokrywają się jednak np. w lokalnie zwartych przestrzeniach Lindelöfa, gdzie zbiory domknięte są przeliczalnymi sumami zbiorów zwartych, skąd σ-ciało generowane przez zbiory otwarte jest równe σ-ciału generowanemu przez zbiory zwarte. W szczególności pojęcia te są zgodne w lokalnie zwartych ośrodkowych przestrzeniach metrycznych.

W teorii mnogości, w odniesieniu do przestrzeni polskich zwyczajowo przyjmuje się pierwszą definicję, co założono w dalszej części artykułu.

Rodzina wszystkich zbiorów borelowskich na przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X}$ nazywana jest σ-ciałem Borela (σ-ciałem borelowskim) lub σ-algebrą Borela.

Przestrzenią borelowską związaną ze zbiorem borelowskim ${\displaystyle X}$ nazywa się parę ${\displaystyle (X,B),}$ gdzie ${\displaystyle B}$ jest σ-ciałem zbioru ${\displaystyle X.}$

Z definicji wynika, że dla dowolnej przestrzeni topologicznej ${\displaystyle (X,\tau )}$ borelowskimi są zbiory otwarte i domknięte tej przestrzeni, a ponadto ich różnice oraz przeliczalne sumy i iloczyny.

Przykłady:

• zbiór liczb wymiernych na prostej rzeczywistej uzyskany jako przeliczalna suma przeliczalnego iloczynu zbiorów otwartych,
• pojedynczy punkt będący dopełnieniem sumy dwóch zbiorów otwartych np. ${\displaystyle (-\infty ,1)\cup (1,\infty ),}$
• rodzina zbiorów borelowskich na prostej jest generowana przez wszystkie przedziały otwarte (równoważnie: domknięte) o końcach wymiernych,
• rodzina zbiorów borelowskich na płaszczyźnie jest generowana przez wszystkie prostokąty otwarte o wierzchołkach wymiernych (wystarczą prostokąty o bokach równoległych do osi współrzędnych),
• nie ma naturalnego przykładu podzbioru prostej rzeczywistej, który nie byłby borelowski (intuicyjnie wszystkie zbiory, które można opisać wzorem są borelowskie),
• istnieją konstrukcje zbiorów korzystające z pewnika wyboru, które dają zbiory nie należące do tej klasy, np. zbiór Vitalego lub zbiór Bernsteina.

Z konstrukcji miary Lebesgue’a podzbiory borelowskie prostej rzeczywistej są mierzalne w sensie Lebesgue’a. Mają one ponadto własność Baire’a.

Główny artykuł: Przestrzeń polska.

Podana wyżej definicja zbiorów borelowskich ma ograniczoną użyteczność z tego powodu, że nie podaje ona żadnej informacji o strukturze tych zbiorów. Mówiąc najmniejsze σ-ciało zawierające zbiory otwarte nie dajemy żadnej wskazówki co do tego, które z podzbiorów przestrzeni należą do tego ciała. Budowę tego σ-ciała możemy opisać krok po kroku, a w przestrzeniach polskich (i ogólniej w przestrzeniach metrycznych) otrzymujemy w ten sposób szczególnie interesujący opis (wynikający z faktu, że każdy zbiór domknięty jest przekrojem przeliczalnie wielu zbiorów otwartych). Opis ten podaje tak zwaną hierarchię zbiorów borelowskich i jest podstawowym pojęciem w opisowej teorii mnogości.

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią polską. Przez indukcję po liczbach porządkowych ${\displaystyle 0<\alpha <\omega _{1}}$ definiujemy rodziny ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}(X),\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}(X),\Delta _{\alpha }^{0}(X)}$ podzbiorów przestrzeni ${\displaystyle X.}$

• ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}(X)}$ jest rodziną wszystkich otwartych podzbiorów ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{1}^{0}(X)}$ jest rodziną wszystkich domkniętych podzbiorów przestrzeni ${\displaystyle X}$ (a więc elementy ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{1}^{0}(X)}$ to dopełnienia zbiorów z ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}(X)}$ ). Ponadto, niech

${\displaystyle \Delta _{1}^{0}(X)=\mathbf {\Sigma } _{1}^{0}(X)\cap \mathbf {\Pi } _{1}^{0}(X),}$

czyli ${\displaystyle \Delta _{1}^{0}(X)}$ jest rodziną wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów ${\displaystyle X.}$

• Przypuśćmy, że zdefiniowane już zostały rodziny ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\beta }^{0}(X),\mathbf {\Pi } _{\beta }^{0}(X),\Delta _{\beta }^{0}(X)}$ dla ${\displaystyle 0<\beta <\alpha .}$ Niech:

${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}(X)}$ jest rodziną wszystkich zbiorów postaci

${\displaystyle A=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }A_{n},}$

gdzie

${\displaystyle A_{n}\in \bigcup \limits _{\beta <\alpha }\mathbf {\Pi } _{\beta }^{0}(X)}$

(dla wszystkich ${\displaystyle n}$ ),

${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}(X)}$ jest rodziną wszystkich tych zbiorów ${\displaystyle A\subseteq X,}$ że ${\displaystyle X\setminus A\in \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}(X),}$

${\displaystyle \Delta _{\alpha }^{0}(X)=\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}(X)\cap \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}(X).}$

Zdefiniowane powyżej rodziny zbiorów są czasami nazywane klasami borelowskimi. Jeśli wiadomo, w jakiej przestrzeni polskiej pracujemy (albo jeśli nie jest to istotne), to oznacza się je zwykle ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0},\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0},\Delta _{\alpha }^{0}}$ (zamiast ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}(X),\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}(X),\Delta _{\alpha }^{0}(X)}$ ).

Niech ${\displaystyle X}$ będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską i niech wszystkie wspomniane poniżej klasy borelowskie odnoszą się do tej przestrzeni.

• Dla wszelkich ${\displaystyle 0<\alpha <\beta <\omega _{1}}$ zachodzą inkluzje:

${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}\subseteq \Delta _{\beta }^{0}\subseteq \mathbf {\Sigma } _{\beta }^{0}}$ oraz ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}\subseteq \Delta _{\beta }^{0}\subseteq \mathbf {\Pi } _{\beta }^{0}.}$

Każda z tych inkluzji jest właściwa (tzn. nie zachodzi żadna z odpowiednich równości).

• Rodzina

${\displaystyle \bigcup \limits _{0<\alpha <\omega _{1}}\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}=\bigcup \limits _{0<\alpha <\omega _{1}}\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$

wyczerpuje wszystkie borelowskie podzbiory ${\displaystyle X.}$

• Klasy ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ są zamknięte na sumy przeliczalne i skończone przekroje zbiorów, a klasy ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$ są zamknięte na przekroje przeliczalne i skończone sumy.
• Każda klasa ${\displaystyle \Delta _{\alpha }^{0}}$ jest ciałem podzbiorów ${\displaystyle X.}$

Borelowskie podzbiory doskonałych przestrzeni polskich są jednymi z obiektów zainteresowań w opisowej teorii mnogości. Poniżej, mówiąc o zbiorach borelowskich, myślimy o borelowskich podzbiorach jakiejkolwiek doskonałej przestrzeni polskiej.

• Każdy nieprzeliczalny zbiór borelowski ma doskonały podzbiór, więc też podzbiór homeomorficzny ze zbiorem Cantora. Więc każdy nieskończony zbiór borelowski jest albo przeliczalny, albo mocy continuum, nawet bez założenia hipotezy continuum^[a].
• Moc rodziny zbiorów borelowskich wynosi continuum. Tak więc pomimo tego, że trudno jest podać przykład zbioru, który nie jest borelowski, zbiorów nieborelowskich jest „więcej” niż borelowskich.
• Ciągły różnowartościowy obraz zbioru borelowskiego jest zbiorem borelowskim. W ogólności jednak, ciągły obraz zbioru borelowskiego nie musi być borelowski (zob. zbiór analityczny).
• Wszystkie doskonałe przestrzenie polskie są borelowsko izomorficzne. Jeśli ${\displaystyle X}$ jest doskonałą przestrzenią polską, to istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna ${\displaystyle f\colon X\longrightarrow \mathbb {R} ,}$ która jest funkcją mierzalną względem σ-ciała zbiorów borelowskich. (Wówczas również funkcja odwrotna ${\displaystyle f^{-1}}$ jest mierzalna.)
• Twierdzenie Kuratowskiego mówi, że jeśli ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ są doskonałymi przestrzeniami polskimi, to można wybrać ich borelowskie podzbiory pierwszej kategorii ${\displaystyle Z_{1}\subseteq X_{1}}$ i ${\displaystyle Z_{2}\subseteq X_{2},}$ takie że przestrzenie ${\displaystyle X_{1}\setminus Z_{1}}$ i ${\displaystyle X_{2}\setminus Z_{2}}$ są homeomorficzne.

Notację ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ wprowadził John W. Addison w 1959^[3].

Z czasem symbolika ta przyjęła się w całej teorii mnogości. Często jednak w topologii oraz w starszych podręcznikach teorii mnogości dla początkowych klas borelowskich używa się tradycyjnej symboliki:

• elementy klas ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0},\mathbf {\Pi } _{1}^{0}}$ są po prostu nazywane odpowiednio zbiorami otwartymi i domkniętymi (nie mają odrębnej symboliki),
• elementy klasy ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{2}^{0}}$ są nazywane zbiorami typu F_σ, a elementy klasy ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{2}^{0}}$ – zbiorami typu G_δ,
• elementy klas ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{3}^{0},\mathbf {\Pi } _{3}^{0}}$ są nazywane odpowiednio zbiorami typu G_δσ i zbiorami typu F_σδ itd.

• funkcja mierzalna
• miara Haara
• przestrzeń mierzalna
• zbiory analityczne
• zbiory rzutowe
• zbiór typu F-sigma
• zbiór typu G-delta

• Borel set (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-05-30].