Zawężenie funkcji

Niech dana będzie relacja funkcyjna ${\displaystyle f\subset X\times Y}$ oraz ustalony podzbiór ${\displaystyle U\subset X.}$ Zawężeniem ${\displaystyle f|_{U}}$ funkcji ${\displaystyle f}$ do zbioru ${\displaystyle U}$ jest relacja

${\displaystyle f\cap (U\times Y)}$ = ${\displaystyle \{(x,y)\in f\colon x\in U\}.}$

Relacja ${\displaystyle f|_{U}}$ również jest relacją funkcyjną, co wynika z następującego rozumowania:

jeśli ${\displaystyle (u,y_{1})\in f|_{U}}$ oraz ${\displaystyle (u,y_{2})\in f|_{U},}$ to ${\displaystyle (u,y_{1})\in f}$ oraz ${\displaystyle (u,y_{2})\in f,}$ skąd ${\displaystyle y_{1}=y_{2}}$ ^[3].

Równoważnie definicję obcięcia funkcji można wyrazić za pomocą złożenia funkcji (złożenia relacji)^[3]:

${\displaystyle f|_{U}=f\circ \Delta _{U},\quad {}}$ gdzie ${\displaystyle \Delta _{U}:=\{(x,x)\in X\times X\colon x\in U\}.}$

Definicja ta jest równoważna poprzedniej bowiem

${\displaystyle {\begin{aligned}f\circ \Delta _{U}&=\{(x,y)\in X\times Y\colon \;\exists _{u\in U}\ (x,u)\in \Delta _{U}\;{\text{ oraz }}\;(u,y)\in f\}\\&=\{(x,y)\in X\times Y\colon \;\exists _{u\in U}\ x=u\;{\text{ oraz }}\;(u,y)\in f\}\\&=\{(x,y)\in f\colon x\in U\}=f|_{U}.\end{aligned}}}$

• funkcja częściowa

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2015. ISBN 978-83-01-15232-1.
• Obcięcie funkcji, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2018-12-22] .
• Anna Barbaszewska-Wiśniowska: Restrykcja (zawężenie) funkcji. [w:] e-podręcznik AGH [on-line]. 2018.