Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie

Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.

W oznaczeniach przyjętych na rysunku treść twierdzenia wyraża proporcja:

${\displaystyle {\frac {|AD|}{|DB|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}.}$

Z punktu ${\displaystyle A}$ prowadzi się półprostą prostopadłą do dwusiecznej ${\displaystyle CD}$ w punkcie ${\displaystyle O,}$ przecina ona również przedłużenie boku ${\displaystyle BC}$ w pewnym punkcie ${\displaystyle B'.}$ Zauważyć trzeba, że ${\displaystyle |AO|=|OB'|}$ i ${\displaystyle |AC|=|B'C|.}$

Następnie należy poprowadzić przez ${\displaystyle B'}$ prostą równoległą do boku ${\displaystyle AB}$ – przecina ona prostą ${\displaystyle CD}$ w pewnym punkcie ${\displaystyle D'.}$ Trójkąty ${\displaystyle \Delta ADO}$ i ${\displaystyle \Delta B'D'O}$ są przystające, a więc ${\displaystyle |D'B'|=|AD|.}$ Z podobieństwa trójkątów ${\displaystyle \Delta DBC}$ i ${\displaystyle \Delta D'B'C}$ wynika, że:

${\displaystyle {\frac {|D'B'|}{|DB|}}={\frac {|B'C|}{|BC|}},}$

czyli

${\displaystyle {\frac {|AD|}{|DB|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}.}$

Niech:

${\displaystyle |AC|=b,}$

${\displaystyle |BC|=a,}$

${\displaystyle |AD|=m,}$

${\displaystyle |BD|=n,}$

${\displaystyle \angle ACD=x,}$

${\displaystyle \angle ADC=y.}$

Na mocy twierdzenia sinusów zastosowanego do trójkątów ${\displaystyle \Delta ADC}$ i ${\displaystyle \Delta DBC}$ prawdziwa jest równość:

${\displaystyle {\frac {m}{\sin x}}={\frac {b}{\sin y}},}$

a także

${\displaystyle {\frac {n}{\sin x}}={\frac {a}{\sin(\pi -y)}}={\frac {a}{\sin y}}.}$

Po podzieleniu stronami powyższych równości otrzymuje się tezę: ${\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {b}{a}}.}$

Stosunek pól trójkątów o równej wysokości równy jest stosunkowi długości ich podstaw, czyli ${\displaystyle {\frac {P_{\Delta ADC}}{P_{\Delta DBC}}}={\frac {m}{n}}.}$ Lewą stronę można zapisać jako:

${\displaystyle {\frac {{\frac {1}{2}}bCD\sin x}{{\frac {1}{2}}aCD\sin x}}={\frac {b}{a}}.}$

Stąd ${\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {b}{a}},}$ co należało wykazać.

Uogólnione twierdzenie o dwusiecznej mówi, że jeżeli ${\displaystyle D}$ leży na prostej ${\displaystyle BC}$ i punkt ${\displaystyle A}$ na niej nie leży, to:

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \angle DAC}}.}$

Spodki wysokości w trójkątach ${\displaystyle ABD}$ i ${\displaystyle ACD}$ z odpowiednio wierzchołków ${\displaystyle B}$ i ${\displaystyle C}$ oznaczone są odpowiednio jako ${\displaystyle B_{1}}$ i ${\displaystyle C_{1}.}$ Wtedy:

${\displaystyle |BB_{1}|=|AB|\sin \angle BAD,}$

${\displaystyle |CC_{1}|=|AC|\sin \angle CAD.}$

Ponadto zarówno kąt ${\displaystyle DB_{1}B,}$ jak i ${\displaystyle DC_{1}C}$ są proste, a kąty ${\displaystyle B_{1}DB}$ i ${\displaystyle C_{1}DC}$ są wierzchołkowe, jeśli ${\displaystyle D}$ leży na odcinku ${\displaystyle BC,}$ a tożsame w przeciwnym wypadku, więc trójkąty ${\displaystyle DB_{1}B}$ i ${\displaystyle DC_{1}C}$ są podobne, a więc:

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|BB_{1}|}{|CC_{1}|}}={\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}},}$

co kończy dowód.

• twierdzenie o dwusiecznej kąta zewnętrznego w trójkącie