Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Twierdzenie Kroneckera-Capellego[a] – twierdzenie algebry liniowej dające kryterium istnienia rozwiązań układu równań liniowych i umożliwiające ich klasyfikację (która, opisana w niniejszym artykule jako „wniosek”, jest często przytaczana w samym twierdzeniu); stanowi ono uogólnienie opisu rozwiązań układu równań liniowych jednorodnych zawartego w twierdzeniu o rzędzie na przypadek niejednorodny.
Jako pierwszy miał je udowodnić Georges Fontené (co zaznaczył w swoim piśmie do Nouvelles Annales de Mathématiques z listopada 1875 roku)[1], przed Eugènem Rouchém, który opublikował wcześniej w 1875 roku pierwszą wersję twierdzenia[2], a następnie pełniejszą w 1880 roku[3]. Gdy Ferdinand Georg Frobenius powoływał się na to twierdzenie w swoich pracach[4], przypisywał je Rouchému i Fontenému. Alfredo Capelli miał być pierwszym, który wyraził to twierdzenie w języku macierzy (za pomocą pojęcia rzędu)[5]. Wersja Leopolda Kroneckera pojawiła się w jego wykładach o teorii wyznaczników[6].
Polska nazwa twierdzenia (stosowana również m.in. w Rosji) nosi nazwiska Kroneckera i Capellego, choć we Włoszech przypisuje się je Rouchému i Capellemu, a we Francji wynik ten nazywa się twierdzeniem Rouchégo-Fontenégo; w Hiszpanii znane jest ono jako twierdzenie Rouchégo-Frobeniusa, najprawdopodobniej za sprawą hiszpańsko-argentyńskiego matematyka Julia Reya Pastora, który określał je w ten sposób.
Twierdzenie
Niech dany będzie układ równań liniowych gdzie rząd macierzy
typu
(co oznacza, że
jest liczbą niewiadomych, a
określa liczbę równań) wynosi
z macierzą rozszerzoną
rzędu
Układ ten ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
- Wniosek
Ponieważ zbiór rozwiązań układu zależy od parametrów w sposób afiniczny (tworzy przestrzeń afiniczną tego wymiaru), to w przypadku
rozwiązanie układu wyznaczone jest jednoznacznie (zerowymiarowa przestrzeń opisuje punkt). Jeśli układ jest jednorodny, to zbiór rozwiązań zależy od
parametrów w sposób liniowy (tworzy przestrzeń liniową tego wymiaru) i wtedy jednoznaczność rozwiązania oznacza jego trywialność, tj.
Dowód
Niech będą wektorami odpowiadającymi kolejnym kolumnom macierzy
zaś wektorom kolumnowym
odpowiadają wektory
oraz
Wektor
jest rozwiązaniem układu wtedy i tylko wtedy, gdy
co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy
należy do powłoki liniowej
co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wymiar tej powłoki nie zwiększa się po dodaniu do niej wektora
tj.
Wynika stąd, że przestrzeń wektorów kolumnowych macierzy
oraz
mają równe wymiary, co oznacza równość rzędów tych macierzy.
Zobacz też
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
- Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda: Elementy algebry liniowej. Cz. 1. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002. ISBN 83-204-2566-2 (cz.1).
- Tadeusz Koźniewski: Wykłady z algebry liniowej.
Linki zewnętrzne
Kronecker-Capelli theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].