Niech f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0} f {\displaystyle f} punkt c {\displaystyle c} ( a , b ) , {\displaystyle (a,b),}
f ( c ) = 0. {\displaystyle f(c)=0.} Ogólniej: każda funkcja ciągła f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } własność Darboux , tzn. jeśli d {\displaystyle d} nierówności f ( a ) < d < f ( b ) {\displaystyle f(a)<d<f(b)} f ( a ) > d > f ( b ) , {\displaystyle f(a)>d>f(b),} punkt c {\displaystyle c} [ a , b ] , {\displaystyle [a,b],}
f ( c ) = d . {\displaystyle f(c)=d.} Oba sformułowania są równoważne: funkcje f {\displaystyle f} d . {\displaystyle d.}
Analityczny z definicji Cauchy’ego ciągłości Niech f : [ a , b ] → R . {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} .} d {\displaystyle d} ( f ( a ) , f ( b ) ) . {\displaystyle (f(a),f(b)).}
Niech
A = { x ∈ [ a , b ] : f ( x ) ⩽ d } = f − 1 [ ( − ∞ , d ] ] , {\displaystyle A=\{x\in [a,b]\colon f(x)\leqslant d\}=f^{-1}[(-\infty ,d]],} A c = { x ∈ [ a , b ] : f ( x ) > d } = f − 1 [ ( d , + ∞ ) ] . {\displaystyle A^{c}=\{x\in [a,b]\colon f(x)>d\}=f^{-1}[(d,+\infty )].} Wówczas zbiory A {\displaystyle A} A c {\displaystyle A^{c}} b {\displaystyle b} aksjomatu ciągłości s = sup A . {\displaystyle s=\sup A.} T ⊆ R , p 0 ∈ T {\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ,p_{0}\in T} r > 0 {\displaystyle r>0}
B T ( p 0 ; r ) = { p ∈ T : | p − p 0 | < r } . {\displaystyle B_{T}(p_{0};r)=\{p\in T:|p-p_{0}|<r\}.} Wykażemy, że f ( s ) = d . {\displaystyle f(s)=d.} ciągłości funkcji , właściwości supremum oraz rozłączności zbiorów A {\displaystyle A} A c {\displaystyle A^{c}}
f ( s ) < d ⇒ ( s ≠ b ) ∧ ∃ δ > 0 ( B [ a , b ] ( s ; δ ) ⊆ f − 1 [ B R ( f ( s ) ; d − f ( s ) ) ] ⊆ A ) ∧ ( s + δ < b ) , {\displaystyle f(s)<d\Rightarrow (s\neq b)\,\land \,\exists _{\delta >0}\;(B_{[a,b]}(s;\delta )\subseteq f^{-1}[B_{\mathbb {R} }(f(s);d-f(s))]\subseteq A)\,\land \,(s+\delta <b),} czyli:
∃ δ > 0 ( s , s + δ ) ∩ A ≠ ∅ ⇒ sup A ≠ s , {\displaystyle \exists _{\delta >0}\ (s,s+\delta )\cap A\neq \emptyset \Rightarrow \sup A\neq s,} w innym przypadku:
f ( s ) > d ⇒ ∃ δ > 0 B [ a , b ] ( s ; δ ) ⊆ f − 1 [ B R ( f ( s ) ; f ( s ) − d ) ] ⊆ A c ⇒ ∃ δ > 0 A ∩ ( s − δ , s ] = ∅ ⇒ sup A ≠ s . {\displaystyle f(s)>d\Rightarrow \exists _{\delta >0}\;B_{[a,b]}(s;\delta )\subseteq f^{-1}[B_{\mathbb {R} }(f(s);f(s)-d)]\subseteq A^{c}\Rightarrow \exists _{\delta >0}\ A\cap (s-\delta ,s]=\emptyset \Rightarrow \sup A\neq s.} Zatem poprzez sprzeczność dowodzi się, że nie jest możliwym aby f ( s ) ≠ d . {\displaystyle f(s)\neq d.}
Analityczny z definicji Heinego ciągłości Niech f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } d {\displaystyle d} ( f ( a ) , f ( b ) ) . {\displaystyle (f(a),f(b)).} metody równego podziału .
Zdefiniujmy indukcyjnie ciągi ( a n ) n = 0 ∞ , {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty },} ( b n ) n = 0 ∞ , {\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty },} ( c n ) n = 0 ∞ : {\displaystyle (c_{n})_{n=0}^{\infty }{:}}
a 0 = a , b 0 = b , c 0 = 1 2 ( a 0 + b 0 ) , {\displaystyle a_{0}=a,b_{0}=b,c_{0}={\tfrac {1}{2}}(a_{0}+b_{0}),} jeśli f ( c n ) = d , {\displaystyle f(c_{n})=d,} f ( c n ) > d , {\displaystyle f(c_{n})>d,} a n + 1 = a n , {\displaystyle a_{n+1}=a_{n},} b n + 1 = c n , {\displaystyle b_{n+1}=c_{n},} f ( c n ) < d , {\displaystyle f(c_{n})<d,} a n + 1 = c n , {\displaystyle a_{n+1}=c_{n},} b n + 1 = b n {\displaystyle b_{n+1}=b_{n}} c n + 1 = 1 2 ( a n + 1 + b n + 1 ) . {\displaystyle c_{n+1}={\tfrac {1}{2}}(a_{n+1}+b_{n+1}).} Tak zdefiniowane ciągi ( a n ) , ( b n ) {\displaystyle (a_{n}),\ (b_{n})}
a n ⩽ a n + 1 < b n + 1 ⩽ b n , {\displaystyle a_{n}\leqslant a_{n+1}<b_{n+1}\leqslant b_{n},} b n + 1 − a n + 1 = 1 2 ( b n − a n ) . {\displaystyle b_{n+1}-a_{n+1}={\frac {1}{2}}(b_{n}-a_{n}).} f ( a n ) ⩽ d ⩽ f ( b n ) , {\displaystyle f(a_{n})\leqslant d\leqslant f(b_{n}),} Z własności 1. 2. wynika, że ciągi ( a n ) , ( b n ) {\displaystyle (a_{n}),\ (b_{n})} monotoniczne i ograniczone są zbieżne i maję tę samą granicę. Oznaczmy
c = lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n . {\displaystyle c=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}.} Na podstawie ciągłości funkcji f ( x ) {\displaystyle f(x)} f ( a n ) , f ( b n ) {\displaystyle f(a_{n}),\ f(b_{n})}
lim n → ∞ f ( a n ) = f ( c ) = lim n → ∞ f ( b n ) . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(a_{n})=f(c)=\lim _{n\to \infty }f(b_{n}).} Jednocześnie z własności 3. wynika zachowanie nierówności przy przejściu granicznym, tzn.
lim n → ∞ f ( a n ) ⩽ d ⩽ lim n → ∞ f ( b n ) . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(a_{n})\leqslant d\leqslant \lim _{n\to \infty }f(b_{n}).} Stąd
f ( c ) = d . {\displaystyle f(c)=d.}
Topologiczny Niech f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } d {\displaystyle d} ( f ( a ) , f ( b ) ) . {\displaystyle (f(a),f(b)).} d {\displaystyle d} f . {\displaystyle f.} przeciwobraz przestrzeni topologicznej R ∖ { d } {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{d\}} dziedzinie (którą tutaj jest przedział [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} ciągłości funkcji będzie on sumą dwóch niepustych, rozłącznych, otwartych przeciwobrazów, a zatem przestrzenią niespójną , co wyklucza się z faktem spójności drogowej dziedziny. Wobec czego poprzez sprzeczność dowodzi się, że d {\displaystyle d}
Przedstawione rozumowanie wiąże się z twierdzeniem o szerszym zakresie mówiącym, że ciągły obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym. Przykładem funkcji ciągłej o niespójnym zbiorze wartości i niespójnej dziedzinie jest signum , tj. funkcja s g n ( x ) = x | x | {\displaystyle sgn(x)={\frac {x}{|x|}}} ( x ∈ R ∖ { 0 } ) {\displaystyle (x\in \mathbb {R} \setminus \{0\})} [4] [5] [6]
![{\displaystyle A=\{x\in [a,b]\colon f(x)\leqslant d\}=f^{-1}[(-\infty ,d]],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c467f07a8a73e012a0a44f495c2ba81d67980a)
![{\displaystyle A^{c}=\{x\in [a,b]\colon f(x)>d\}=f^{-1}[(d,+\infty )].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a54d754d2832ad9e48997867617a223baf4bfa22)
![{\displaystyle f(s)<d\Rightarrow (s\neq b)\,\land \,\exists _{\delta >0}\;(B_{[a,b]}(s;\delta )\subseteq f^{-1}[B_{\mathbb {R} }(f(s);d-f(s))]\subseteq A)\,\land \,(s+\delta <b),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b433df5fb95b5d96b645a5a2811649ccc66d8d05)
![{\displaystyle f(s)>d\Rightarrow \exists _{\delta >0}\;B_{[a,b]}(s;\delta )\subseteq f^{-1}[B_{\mathbb {R} }(f(s);f(s)-d)]\subseteq A^{c}\Rightarrow \exists _{\delta >0}\ A\cap (s-\delta ,s]=\emptyset \Rightarrow \sup A\neq s.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3a35769a1fc05ca2453ebc36838a0ddc7ba1e18)
to koniec dowodu,
to
to
