Szereg harmoniczny – szereg liczbowy postaci[1]:
- [2]
Kolejne sumy częściowe szeregu harmonicznego
nazywają się liczbami harmonicznymi.
Nazwa szeregu pochodzi stąd, że każdy wyraz szeregu od drugiego począwszy jest średnią harmoniczną dwóch wyrazów bezpośrednio z nim sąsiadujących[2]:
Łatwo też sprawdzić, że każdy wyraz od drugiego począwszy jest równy połowie średniej harmonicznej wszystkich wcześniejszych wyrazów.
Rozbieżność szeregu harmonicznegoedytuj kod
Szereg harmoniczny jest rozbieżny do nieskończoności[3]
Dowód Mikołaja z Oresmeedytuj kod
Pomysł poniższego dowodu rozbieżności szeregu harmonicznego pochodzi od Mikołaja z Oresme i jest jednym z ważniejszych osiągnięć średniowiecznej matematyki.
Kolejne składniki od drugiego począwszy grupujemy w nawiasy, przy czym każda następna grupa ma dwa razy więcej składników niż poprzednia.
Ponieważ
i ogólnie
więc
Oznacza to, że ciąg sum częściowych jest rozbieżny do [4].
Dowód Pietra Mengolegoedytuj kod
W 1650 w pracy Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum dowód rozbieżności podał Pietro Mengoli[5].
Grupujemy składniki szeregu w nawiasy po trzy składniki od drugiego począwszy:
Ponieważ
i ogólnie
więc
co w efekcie daje
Oznacza to, że ciąg sum częściowych nie spełnia warunku Cauchy’ego; nie jest więc zbieżny.
Bradley podał w roku 2000[6] następujący dowód rozbieżności szeregu harmonicznego.
Dla dowolnej liczby spełniona jest nierówność
a stąd
Ciąg sum częściowych można więc oszacować:
Ponieważ
zachodzi
Ciąg liczb harmonicznychedytuj kod
Ciąg liczb harmonicznych jest rozbieżny do ale rośnie powoli a jego wzrost można opisać zależnością:
gdzie = 0,5772156649… jest tzw. stałą Eulera. Oznacza to, że szereg harmoniczny rośnie tak szybko jak funkcja logarytm naturalny. Dokładniejsze oszacowanie liczby jest dane wzorem
Uogólniony szereg harmoniczny postaci
jest rozbieżny przy dowolnych wartościach
Euler udowodnił rozbieżność szeregu
gdzie jest -tą liczbą pierwszą.
Szeregi harmoniczne wyższych rzędówedytuj kod
Szeregiem harmonicznym rzędu α nazywa się szereg postaci:
- [2]
Szereg ten jest zbieżny dla [7] i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Jeżeli dopuści się, by przyjmowało wartości zespolone i każdej liczbie dla której szereg jest zbieżny, przypisze się jego sumę, to tak utworzona funkcja nosi nazwę funkcji dzeta Riemanna:
Funkcja ta ma podstawowe znaczenie w teorii liczb. Związana jest z nią słynna i nierozstrzygnięta do dzisiaj hipoteza Riemanna.
Ponadto, szereg naprzemienny
jest zbieżny, jednak tylko warunkowo. Wynika to na przykład z rozwinięcia funkcji logarytm naturalny w szereg Taylora.
Natomiast szereg:
gdzie to zmienne losowe przyjmujące z prawdopodobieństwem ½ wartości 1 i -1, jest zbieżny prawie na pewno. Wynika to z twierdzenia Kołmogorowa o trzech szeregach, bo wartości bezwzględne zmiennych są wspólnie ograniczone, wartości oczekiwane równe 0, a wariancje równe co jest szeregiem zbieżnym.
pojęcia definiujące | ciągi ogólne | |
---|
ciągi liczbowe | |
---|
|
---|
typy ciągów | |
---|
przykłady ciągów liczb naturalnych | |
---|
inne przykłady ciągów liczb | |
---|
twierdzenia | |
---|
powiązane pojęcia | |
---|