Subróżniczka
Subróżniczka, subgradient, subpochodna (podróżniczka, podgradient, podpochodna) – pojęcia pojawiające się w analizie wypukłej, czyli badaniu funkcji wypukłych, często w powiązaniu z optymalizacją wypukłą.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Subderivative_illustration.png/220px-Subderivative_illustration.png)
Motywacja
Niech będzie funkcją wypukłą o wartościach rzeczywistych określoną na przedziale otwartym prostej rzeczywistej. Taka funkcja nie musi być różniczkowalna w każdym punkcie: przykładowo funkcja wartości bezwzględnej określona wzorem
jest nieróżniczkowalna dla
Jednakże, jak widać na rysunku po prawej, dla każdego
należącego do dziedziny można nakreślić prostą przechodzącą przez punkt
która w każdym punkcie albo jest styczna, albo leży poniżej wykresu
Właśnie nachylenie tej prostej nazywane jest podpochodną (gdyż prosta leży pod wykresem).
Definicja
Subpochodną funkcji wypukłej w punkcie
należącym do przedziału otwartego
nazywa się taką liczbę rzeczywistą
że
dla każdego należącego do
Można pokazać, że zbiór podpochodnych w punkcie
jest niepustym przedziałem domkniętym
gdzie
oraz
oznaczają granice jednostronne
oraz
które zawsze istnieją i spełniają
Zbiór wszystkich podpochodnych nazywa się subróżniczką funkcji
w punkcie
Przykłady
Niech dana będzie funkcja wypukła Jej subróżniczką w początku układu jest przedział
subróżniczka w dowolnym punkcie
jest równa zbiorowi jednoelementowemu
zaś w punktach
jest nią zbiór
Własności
- Funkcja wypukła
jest różniczkowalna w punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy jej subróżniczka składa się tylko z jednego punktu, który jest pochodną w
- Punkt
jest minimum globalnym funkcji
wtedy i tylko wtedy, gdy zero zawiera się w subróżniczce, tzn. na powyższym rysunku można nakreślić tylko poziomą „podstyczną” do wykresu
w punkcie
Własność ta jest uogólnieniem faktu, że pochodna funkcji różniczkowalnej zeruje się w minimum lokalnym.
Subgradient
Pojęcia subpochodnej i subróżniczki mogą być uogólnione na funkcje wielu zmiennych. Jeżeli jest funkcją wypukłą o wartościach rzeczywistych określoną na wypukłym podzbiorze otwartym przestrzeni euklidesowej
to wektor
tej przestrzeni nazywa się subgradientem w punkcie
należącym do
jeśli dla każdego
z
zachodzi
gdzie mnożenie po prawej oznacza iloczyn skalarny.
Zbiór wszystkich subgradientów w nazywa się subróżniczką w
i oznacza symbolem
Subróżniczka jest zawsze niepustym, wypukłym zbiorem zwartym (tzn. domkniętym i ograniczonym).
Pojęcia te uogólniają się dalej na funkcje wypukłe określone na podzbiorze wypukłym przestrzeni lokalnie wypukłej
Funkcjonał
należący do przestrzeni sprzężonej
nazywa się subgradientem w
należącym do
jeżeli
Zbiór wszystkich subgradientów w punkcie nazywa się subróżniczką w
i także oznacza symbolem
Subróżniczka zawsze jest wypukłym zbiorem domkniętym. Zbiór ten może być pusty: przykładem może być operator nieograniczony, który jest wypukły, lecz nie ma subgradientu. Jeśli
jest ciągła, to subróżniczka nie jest pusta.
Zobacz też
Bibliografia
- Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal: Fundamentals of Convex Analysis. Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6.