Słaba pochodna
Słaba pochodna – rozszerzenie pojęcia pochodnej na funkcje lokalnie całkowalne. Pojęcie słabej pochodnej ma szerokie zastosowania w teorii równań różniczkowych cząstkowych.
Ustalenia wstępne
Niech będzie obszarem oraz niech
oznacza przestrzeń wszystkich funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych w
ze zwartym nośnikiem, zawartym w
Ponadto, niech
Jeśli jest funkcją różniczkowalną w
to stosując wzór na całkowanie przez części, można pokazać, że (oczywiście uwzględniając to, że funkcją
ma zwarty nośnik, tzn. jest równa zero w pewnym otoczeniu brzegu domknięcia zbioru U):
dla
Ogólniej, jeśli jest funkcją
-krotnie różniczkowalną w
a
jest wielowskaźnikiem, to
W teorii równań różniczkowych cząstkowych czasem istnieje potrzeba ograniczenia założeń co do gładkości funkcji powstaje wówczas pytanie czy istnieje funkcja
że
w powyższym wzorze.
Definicja
Niech funkcje będą lokalnie całkowalne w zbiorze
[1] oraz niech
będzie takie jak wyżej. Mówimy, że funkcja
jest
-tą słabą pochodną funkcji
wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdej funkcji Jeśli
jest
-tą słabą pochodną funkcji
to zapisujemy to
Uwaga
- Słabe pochodne pewnej ustalonej funkcji są równe prawie wszędzie.
Przykład
Funkcja dana wzorem
nie jest różniczkowalna w punkcie jednak funkcja signum jest jej słabą pochodną.