Rozkład beta – rodzina ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa zadana za pomocą funkcji gęstości
Rozkład beta
Gęstość prawdopodobieństwa Dystrybuanta Parametry α > 0 {\displaystyle \alpha >0} parametr kształtu (liczba rzeczywista ) β > 0 {\displaystyle \beta >0}
Nośnik x ∈ [ 0 ; 1 ] {\displaystyle x\in [0;1]}
Gęstość prawdopodobieństwa x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 B ( α , β ) {\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}
Dystrybuanta I x ( α , β ) {\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )} [a]
Wartość oczekiwana (średnia) α α + β {\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}
Moda α − 1 α + β − 2 {\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}} α > 1 , β > 1 {\displaystyle \alpha >1,\beta >1}
Wariancja α β ( α + β ) 2 ( α + β + 1 ) {\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}
Współczynnik skośności 2 ( β − α ) α + β + 1 ( α + β + 2 ) α β {\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}
Kurtoza 6 α 3 − α 2 ( 2 β − 1 ) + β 2 ( β + 1 ) − 2 α β ( β + 2 ) α β ( α + β + 2 ) ( α + β + 3 ) . {\displaystyle 6\,{\tfrac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}.}
Entropia ln B ( α , β ) {\displaystyle \ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )} − ( α − 1 ) ψ ( α ) {\displaystyle -(\alpha -1)\psi (\alpha )} − ( β − 1 ) ψ ( β ) {\displaystyle -(\beta -1)\psi (\beta )} + ( α + β − 2 ) ψ ( α + β ) {\displaystyle +(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )}
Funkcja tworząca momenty 1 + ∑ k = 1 ∞ ( ∏ r = 0 k − 1 α + r α + β + r ) t k k ! {\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}
Funkcja charakterystyczna 1 F 1 ( α ; α + β ; i t ) {\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)}
Odkrywca Corrado Gini (1911 )
f ( α , β , x ) = c α , β ⋅ x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 , {\displaystyle f(\alpha ,\beta ,x)=c_{\alpha ,\beta }\cdot x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1},} gdzie:
x {\displaystyle x} x ∈ [ 0 , 1 ] ; {\displaystyle x\in [0,1];} α , β > 0 {\displaystyle \alpha ,\beta >0} parametry kształtu c α , β {\displaystyle c_{\alpha ,\beta }} stała zależna od α {\displaystyle \alpha } β , {\displaystyle \beta ,} c α , β = 1 ∫ 0 1 u α − 1 ( 1 − u ) β − 1 d u {\displaystyle c_{\alpha ,\beta }={\frac {1}{\int \limits _{0}^{1}~u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}}} = 1 B ( α , β ) {\displaystyle =\!{\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}} = Γ ( α + β ) Γ ( α ) Γ ( β ) , {\displaystyle ={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}},} gdzie:
B {\displaystyle \mathrm {B} } funkcja beta , Γ {\displaystyle \Gamma } funkcja gamma .Gdy α = β = 1 , {\displaystyle \alpha =\beta =1,} rozkładu jednostajnego .
Momenty zwykłe zmiennej o rozkładzie beta wynoszą:
E ( X k ) = α ( α + 1 ) … ( α + k − 1 ) ( α + β ) ( α + β + 1 ) … ( α + β + k − 1 ) . {\displaystyle \mathbb {E} (X^{k})={\frac {\alpha (\alpha +1)\dots (\alpha +k-1)}{(\alpha +\beta )(\alpha +\beta +1)\dots (\alpha +\beta +k-1)}}.}
Właściwości
Miary tendencji centralnej
Średnia Wartość oczekiwana rozkładu beta jest funkcją stosunku parametrów α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } [1]
μ = E [ X ] = ∫ 0 1 x f ( x ; α , β ) d x = ∫ 0 1 x x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 B ( α , β ) d x = α α + β = 1 1 + β α . {\displaystyle {\begin{aligned}\mu =\operatorname {E} [X]&=\int _{0}^{1}xf(x;\alpha ,\beta )\,dx\\&=\int _{0}^{1}x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx\\&={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\\&={\frac {1}{1+{\frac {\beta }{\alpha }}}}.\end{aligned}}} Jeśli oba parametry są równe, α = β , {\displaystyle \alpha =\beta ,} μ = 1 2 . {\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}}.} α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } [ 0 , 1 ] : {\displaystyle [0,1]{:}}
lim β α → 0 μ = 1 {\displaystyle \lim _{{\frac {\beta }{\alpha }}\to 0}\mu =1} lim β α → ∞ μ = 0. {\displaystyle \lim _{{\frac {\beta }{\alpha }}\to \infty }\mu =0.}
Dominanta Maksimum lub minimum rozkładu beta wyraża funkcja[1]
α − 1 α + β − 2 . {\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}.} Jeśli oba parametry są mniejsze od zera, α , β < 0 , {\displaystyle \alpha ,\beta <0,}
Miary rozproszenia
Wariancja Wariancję rozkładu beta określa funkcja parametrów α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } [1]
var ( X ) = E [ ( X − μ ) 2 ] = α β ( α + β ) 2 ( α + β + 1 ) . {\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}.} Wraz z dążeniem parametrów do zera, α = β = 0 , {\displaystyle \alpha =\beta =0,} var ( X ) = 1 4 . {\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{4}}.} α = β = 1 , {\displaystyle \alpha =\beta =1,} jednostajny o typowej dla niego wariancji równej var ( X ) = 1 12 . {\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{12}}.}
Uwagi
Przypisy
Bibliografia Rozkład po raz pierwszy wprowadzony w pracy: Corrado Gini: Considerazioni sulle probabilita a posteriori e applicazioni al rapporto dei sessi nelle nascite umane . Studi Economico-Giuridici della Universita de Cagliari, Anno III, 1911, s. 133–171. 
![{\displaystyle x\in [0;1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/745b7ffd7926726b5eab739912ec7e702d9fed96)
![{\displaystyle x\in [0,1];}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb3d7ddb668bc2be7edfa24a90c7bd4047db50df)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu =\operatorname {E} [X]&=\int _{0}^{1}xf(x;\alpha ,\beta )\,dx\\&=\int _{0}^{1}x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx\\&={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\\&={\frac {1}{1+{\frac {\beta }{\alpha }}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c01f17c920a90ad971a083ad32230d7cc658450)
![{\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a729ec4914a12b56baeed110f088864ad1dccdf7)
