Równania telegrafistów (równania linii długiej) – pary liniowych równań różniczkowych, które opisują zmiany zespolonej amplitudy napięcia i prądu wzdłuż linii długiej z uwzględnieniem odległości oraz czasu. Równania zostały skonstruowane przez Oliviera Heaviside’a. Teoria dotyczy wysokoczęstotliwościowych linii długich (takich jak linie telegraficzne), ale jest również ważna dla projektowania linii przesyłowych o wysokim napięciu elektrycznym. Model najłatwiej przedstawić na elementarnym odcinku dwuprzewodowej linii długiej, w którym ważną rolę gra dobrze przewodzący metal wykorzystany w kablach oraz izolujący materiał dielektryczny zastosowany do oddzielenia przewodników[1]. Proces zmian napięcia oraz prądu w takim modelu zakłada, że wywołanie przyrostu napięcia na jednym końcu linii nie daje natychmiastowego pojawienia się takiego samego przyrostu na drugim końcu linii. Przyjmuje się zatem, że propagacja zachodzi tylko w jednym wymiarze wzdłuż linii długiej.
Równania telegrafistów mogą być rozumiane jako uproszczony przypadek równań Maxwella. W praktyczniejszym podejściu przyjmuje się, że przewodniki składają się z nieskończonego szeregu składników elementarnych, z których każdy reprezentuje nieskończenie krótki odcinek linii przesyłowej:
- rozprowadzony opór
przewodnika jest reprezentowany przez opornik szeregowy (wyrażony w omach na jednostkę długości) - rozprowadzona indukcyjność
jest przedstawiona przez cewkę indukcyjną (henr na jednostkę długości) - pojemność elektryczna
między dwoma przewodnikami jest reprezentowana przez kondensator bocznika
(farad na jednostkę długości) - przewodność czynna
dielektrycznego materiału rozdzielającego dwa przewodniki jest reprezentowana przez upływność czynną (siemens na jednostkę długości)
Napięcie oraz prąd opisane są równaniami różniczkowymi, tylko i wyłącznie przy spełnieniu następujących dwóch założeń:
oraz
są harmonicznymi funkcjami czasu o przebiegu sinusoidalnymi i pulsacji
(gdzie
– zespolona amplituda napięcia;
– zespolona amplituda prądu)
![{\displaystyle U=Ue^{j\omega t}\quad I=Ie^{j\omega t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35798ade5901f347036194ba26a3298c2c64964d)
![{\displaystyle A=R+j\omega L;\quad B=G+j\omega C;\quad \gamma ^{2}=AB;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d25d69d7a7f2b1b7d5df9b7ce6095043793cb336)
- Linia nie zmienia swoich wymiarów, średnicy przewodów, ich odległości oraz przenikalności izolatora otaczającego przewody.
Zespolone amplitudy prądu
i
jednorodnej linii długiej związane są prostymi równaniami różniczkowymi ze stałą
zwaną stałą propagacji
![{\displaystyle {\frac {d^{2}U}{dz^{2}}}-\gamma ^{2}U=0;\quad {\frac {d^{2}I}{dz^{2}}}-\gamma ^{2}I=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56154264d6106a54ddd7fa07a6ccb5ecfcba50d2)
Identyczne równania uzyskuje się z równań Maxwella dla pól
i
Równania te zwane są równaniami falowymi.
Równania telegrafistów wyraża się za pomocą
i
by podkreślić, że wartości są pochodnymi w związku do długości.
Kiedy elementy
i
są bardzo małe, to ich wpływ może być pominięty, a linia przesyłowa może być traktowana jak idealna struktura bezstratna. W tym przypadku model zależy tylko od elementów
i
i uzyskuje się parę równań różniczkowych pierwszego rzędu, w których jedna funkcja opisuje napięcie elektryczne
wzdłuż kabla, zaś druga natężenie prądu, obie jako funkcje położenia
i czasu ![{\displaystyle t{:}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d539084b3e3ce1ab5b142f623574ed4c24ac7691)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}U(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969a8a763f8fc450d629b52db13f3f8f00918edc)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}U(x,t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce5ebf4c9200cf1f1ff65e90a5eb8e7e79e83b5)
Ich kombinacja liniowa daje dwa równania funkcji falowych:
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}U={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}U,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f890070d654c4845b194b795130190d92518835)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}I={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4823fbbfbe6e77e245d2ffa7586062b1c9096b6b)
W stanie stacjonarnym (zakładając falę sinusoidalną
), równania te redukują się do:
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}LC\cdot U(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067980f35a6725aced5d3d5fc7dddd71b5970e19)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}I(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}LC\cdot I(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8910bd23c842aa7049b0c9e201a3c5a839592b3)
gdzie
– częstość fali w stanie stacjonarnym
Jeśli linia ma nieskończoną długość albo gdy jest skończona i ma określoną impedancję falową, równania dają rozwiązanie w postaci fali przemieszczającej się z prędkością ![{\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e9109bc8795ae9174a5a0170e6a6b1c8a81932)
Gdy elementy straty
i
nie są pomijalne, oryginalne równania różniczkowe opisujące segment elementarny linii przybiera postać:
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-RI(x,t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e81248fca5720e22776e06674aebe6a1b51a54e)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)-GV(x,t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1ed9639484f89ea5c55838037771df8034204c9)
Po zróżniczkowaniu pierwszego równania po
i drugiego po
oraz po dalszych przekształceniach algebraicznych uzyskuje się równania, z których każde zawiera tylko jedną niewiadomą:
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}V=LC{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}V+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}V+GRV,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87304fd8aef7f01c98e9935bdfbe3676b3856a11)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}I=LC{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}I+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}I+GRI.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf63a9690f6a24a9c9ac08761844383ae361e01)
Kierunek propagacji faliedytuj kod
Powyższe równania wskazują na istnienie dwóch rozwiązań przemieszczania się fali, do przodu i do tyłu. Przyjmując uproszczenie linii bezstratnej (tj.
i
), rozwiązanie można przedstawić równaniem:
![{\displaystyle V(x,t)=f_{1}(\omega t-kx)+f_{2}(\omega t+kx),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95e3f673873c59714e24e773950396b93be82421)
gdzie:
![{\displaystyle k=\omega {\sqrt {LC}}={\frac {\omega }{v}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94045b2879d450e1646b8c0f8236b0251c675b5)
– liczba falowa (jednostka: radian na metr),
– częstość kołowa (radian na sekundę),
i
– dowolne funkcje,
– prędkość fazowa fali.
Ponieważ równania telegrafistów wiążą natężenie prądu z napięciem, można zapisać analogiczne równanie dla natężenia prądu
![{\displaystyle I(x,t)={\frac {f_{1}(\omega t-kx)}{Z_{0}}}-{\frac {f_{2}(\omega t+kx)}{Z_{0}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/774124641da20a85c9d4772f1ca9c78b3b5e4a5a)
gdzie
jest impedancją falową linii przesyłowej, która dla linii bezstratnej jest dana przez:
![{\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b2ee3b2229af1f03271919767144ab581967aaf)