Przestrzeń liniowa
Przestrzeń liniowa, przestrzeń wektorowa – rodzaj struktury algebraicznej złożonej z dwóch zbiorów oraz dwóch działań: wewnętrznego i zewnętrznego. Elementy tych zbiorów są nazywane wektorami i skalarami, a działania to dodawanie wektorów i skalowanie ich, czyli mnożenie przez skalary[1]. Działania te muszą przy tym spełniać pewne aksjomaty, wymienione niżej (patrz Definicja). Formalnie przestrzeń liniowa to krotka opisująca moduł nad ciałem, zwykle liczbowym, przez co jest to rodzaj grupy przemiennej wzbogaconej o dodatkowy zbiór skalarów i działanie mnożenia przez te elementy. Przestrzenie wektorowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej, definiujący tę dziedzinę.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Vector_space_illust.svg/220px-Vector_space_illust.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/S-p-Orbitals.svg/220px-S-p-Orbitals.svg.png)
Struktura ta jest dalekim uogólnieniem przestrzeni euklidesowych lub ściślej: kartezjańskich, znanych z geometrii; właściwości wektorów dwu- i trójwymiarowych stanowią intuicyjny model bardziej abstrakcyjnych odpowiedników. Aksjomatyczną definicję przestrzeni wektorowej spełniają nie tylko skończone ciągi liczb rzeczywistych, ale też odpowiadające im wielomiany ustalonego stopnia o współczynnikach rzeczywistych, macierze ustalonego wymiaru, ciągi nieskończone, funkcje rzeczywiste, operatory różniczkowe i inne obiekty, w tym różne zbiory liczbowe.
Przestrzenie liniowe są przez to wspólnym językiem różnych dziedzin matematyki jak teoria liczb, geometria, algebra i analiza; są m.in. fundamentem analizy funkcjonalnej, a przez to narzędziem XX-wiecznej teorii równań różniczkowych, rachunku wariacyjnego, analizy harmonicznej i fizyki matematycznej. Znajdują zastosowanie w różnych naukach ścisłych i technicznych, w tym mechanice kwantowej i kryptologii. Sformalizowano je na przełomie XIX i XX wieku, w czym mieli udział Hermann Grassmann, Giuseppe Peano, Hermann Weyl i inni[2].
Definicja
Niech będzie ciałem (np. ciałem liczb rzeczywistych
lub liczb zespolonych
).
Ciało to nazywa się ciałem skalarów, elementy ciała nazywa się skalarami.
Definicja:
Przestrzenią liniową (wektorową) nad ciałem nazywa się zbiór
z określonymi w nim dwoma działaniami dwuargumentowymi:
(1) dodawanie wektorów: działanie z iloczynu kartezjańskiego zbioru na zbiór
które dowolnym wektorom
przyporządkowuje pewien wektor
nazywany sumą wektorów
co symbolicznie zapisuje się w postaci
(2) mnożenie przez skalar: działanie z iloczynu kartezjańskiego zbioru i ciała
które dowolnemu wektorowi
i dowolnej liczbie
przyporządkowuje pewien wektor
co symbolicznie zapisuje się w postaci
przy czym działania te spełniają poniższe aksjomaty:
- Dodawanie wektorów jest łączne, tj. dla dowolnych
jest
- Dodawanie wektorów jest przemienne, tj. dla dowolnych
jest
- Dodawanie wektorów ma element neutralny, tj. istnieje taki element
nazywany wektorem zerowym, że dla dowolnego
jest
- Dodawanie wektorów ma elementy przeciwne, tj. dla każdego
istnieje element
nazywany wektorem przeciwnym do
taki że
- Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów, tj. dla każdego
oraz
jest
- Mnożenie przez wektor jest rozdzielne względem dodawania skalarów:, tj. dla każdych
oraz
zachodzi
- Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów, tj. dla dowolnych
oraz
jest
- Jeśli 1 jest jedynką ciała
to dla dowolnego
Uwaga:
Pierwsze cztery warunki czynią z wektorów grupę abelową ze względu na dodawanie, kolejne dwa są prawami rozdzielności.
Przestrzeń liniowa rzeczywista i zespolona
Def. Przestrzenią liniową rzeczywistą nazywa się przestrzeń liniową określoną nad ciałem liczb rzeczywistych,
Def. Przestrzenią liniową zespoloną nazywa się przestrzeń liniową określoną nad ciałem liczb zespolonych
Informacje uzupełniające
(1) Formalnie przestrzeń liniowa nad ciałem jest strukturą matematyczną
w której:
jest grupą abelową (aksjomaty 1–4),
jest ciałem,
wyposażoną w działanie (wyżej nieoznaczane) spełniające aksjomaty 5–8.
Wyżej przedstawione aksjomaty stanowią definicję modułu (nad pierścieniem ). W ten sposób przestrzeń liniową można zwięźle zdefiniować jako moduł nad ciałem (gdyż każde ciało jest pierścieniem; co więcej, wspomniany moduł jest wolny).
(2) Siódmy aksjomat nie opisuje łączności, gdyż obecne są w nim dwa różne działania: mnożenie przez skalar, oraz mnożenie skalarów (z ciała),
(3) Niektóre źródła zawierają również dodatkowe dwa aksjomaty domkniętości:
- Przestrzeń
jest zamknięta ze względu na dodawanie wektorów,
- jeżeli
to
- jeżeli
- Przestrzeń
jest zamknięta ze względu na mnożenie przez skalar,
- jeżeli
to
- jeżeli
Jednak zwykle działanie definiuje się jako odwzorowanie o przeciwdziedzinie co pociąga za sobą powyższe stwierdzenia i eliminuje potrzebę ich dodawania jako niezależnych aksjomatów.
(4) Aksjomaty domkniętości są zaś niezbędne do określenia, czy dany podzbiór przestrzeni liniowej jest jej podprzestrzenią.
(5) Wyrażenia postaci „ ”, gdzie
oraz
ściśle rzecz ujmując, są nieokreślone. Jednakże z powodu przemienności w ciele skalarów wyrażenia „
” oraz „
” traktuje się jako tożsame. Jeżeli przestrzeń liniowa
jest algebrą nad ciałem
to dla
oraz
zachodzi
co usprawiedliwia traktowanie wyrażeń „
” i „
” jako reprezentacji tego samego wektora.
(6) Symbol pomija się często dla działania mnożenia w ciele, rezerwując go dla iloczynu skalarnego lub rezygnuje się z niego całkowicie, gdyż rodzaj mnożenia można zwykle jednoznacznie określić na podstawie rodzaju czynników.
Podstawowe twierdzenia
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Vector_sum.svg/220px-Vector_sum.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Vector_scalar_multiplication.svg/220px-Vector_scalar_multiplication.svg.png)
Następujące twierdzenia można wyprowadzić wprost z aksjomatów przestrzeni liniowych:
Tw. 1: Wektor zerowy jest wyznaczony jednoznacznie, tj. jeżeli
oraz
- to:
Tw. 2: Mnożenie wektora zerowego przez skalar daje wektor zerowy, tj. dla dowolnego jest:
Tw. 3: Mnożenie skalarne wektora przez zero daje wektor zerowy, tj. dla każdego zachodzi
gdzie – element neutralny dodawania w
Tw. 4: Żadne inne mnożenie przez skalar nie daje zera, tj.
- wtedy i tylko wtedy, gdy
lub
Tw. 5: Wektor odwrotny względem dodawania do
jest wyznaczony jednoznacznie, tzn. jeżeli
są odwrotnościami
takimi, że
oraz
- to
Wektor nazywa się wektorem przeciwnym do
Definicja (różnicy wektorów):
- Różnicą wektora
i wektora
nazywa się wektor, który jest sumę wektora
i wektora przeciwnego do wektora
tj.
Tw. 6: Mnożenie skalarne przez jednostkę ujemną daje wektor przeciwny, tj. dla każdego mamy
gdzie oznacza element odwrotny względem mnożenia w
Tw. 7: Ujemność jest całkowicie przemienna, tj. dla każdego oraz
zachodzi
Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Definicja powłoki liniowej
- Część wspólna wszystkich podprzestrzeni zawierających dany zbiór wektorów
nazywa się jego powłoką (liniową) lub otoczką (liniową).
Definicja rozpinania przestrzeni przez zbiór wektorów
- Mówi się, że dany zbiór wektorów
rozpina przestrzeń liniową, jeżeli wszystkie inne wektory tej przestrzeni można otrzymać w wyniku dodawania i mnożenia przez skalar wektorów tego zbioru.
Definicja liniowej niezależności wektorów
- Jeżeli spośród wektorów
rozpinających daną przestrzeń usunięcie któregokolwiek z nich powodowałoby, że z pozostałych nie dałoby się rozpiąć tej podprzestrzeni, to mówi się, że zbiór wektorów jest liniowo niezależny.
Definicja bazy przestrzeni liniowej
- Bazą przestrzeni
nazywa się liniowo niezależny zbiór wektorów
który rozpina przestrzeń
Twierdzenie o istnieniu bazy
- Każda przestrzeń liniowa ma bazę.
Dowód:
Niech będzie rodziną liniowo niezależnych podzbiorów zbioru
Rodzina ta jest uporządkowana relację inkluzji. Na mocy twierdzenia Hausdorffa w rodzinie
istnieje nieprzedłużalny łańcuch
Suma
tego łańcucha jest zbiorem liniowo niezależnym. Gdyby
nie była bazą, istniałby wektor
dla którego
byłby liniowo niezależny. Wtedy jednak
byłby właściwym przedłużeniem łańcucha
co przeczyłoby jego maksymalności.
Twierdzenie o równoliczności baz
- Wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne.
Dowód: Wynika to ze słabszego od aksjomatu wyboru lematu o istnieniu ultrafiltrów w algebrach Boole’a (BPI).
Definicja wymiaru przestrzeni liniowej
- Jeśli
jest przestrzenią liniową, to moc jej bazy nazywa się wymiarem przestrzeni
Wymiar przestrzeni oznacza się symbolem
Np. Wymiar rzeczywistej przestrzeni liniowej czyli
wynosi trzy, gdyż każdy element tej przestrzeni daje się przedstawić jako kombinacja wektorów należących np. do zbioru
[a].
Uwaga:
Istnieją przestrzenie liniowe, dla których nie można wskazać żadnej bazy, ale przy założeniu aksjomatu wyboru wiadomo, że ona istnieje.
Twierdzenie Andreasa Blassa (1984 r.)
- Istnienie bazy każdej przestrzeni liniowej jest równoważne z aksjomatem wyboru[3].
Definicja podprzestrzeni
Definicja 1:
- Niepusty podzbiór
przestrzeni liniowej
zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie skalarne nazywa się podprzestrzenią tej przestrzeni, przy czym:
- przestrzeń
jest zamknięta ze względu na dodawanie wektorów,
- jeżeli
to
- jeżeli
- przestrzeń
jest zamknięta ze względu na mnożenie przez skalar,
- jeżeli
to
- jeżeli
Definicja 2 (równoważna)
- Podzbiory przestrzeni, które same są przestrzeniami liniowymi nazywa się podprzestrzeniami liniowymi (nad tym samym ciałem).
Wynika stąd, że:
- Baza podprzestrzeni i jej wymiar są zadane przez bazę i wymiar tego zbioru, traktowanego jako niezależna przestrzeń liniowa.
Przekształcenia liniowe
Dla danych dwóch przestrzeni liniowych oraz
nad tym samym ciałem
można zdefiniować przekształcenia liniowe lub odwzorowania liniowe z
do
Są to funkcje
zachowujące ich struktury, tzn. zachowujące sumy wektorów i iloczyny wektorów przez skalary. Zbiór wszystkich przekształceń liniowych z
do
oznaczany
sam stanowi przestrzeń liniową nad
Jeżeli dane są bazy
i
przekształcenia liniowe można wyrazić w pojęciach składowych za pomocą macierzy nazywanych macierzami przekształceń liniowych.
Izomorfizm to przekształcenie liniowe które jest jednocześnie bijekcją przestrzeni
na przestrzeń
Jeśli istnieje izomorfizm między
a
to mówi się, że przestrzenie te są izomorficzne, jako że przestrzenie liniowe mają tę samą strukturę.
Jak wspomniano wcześniej, wymiar przestrzeni jest niezmiennikiem izomorfizmu: otóż jeśli jest bazą przestrzeni
to
jest bazą przestrzeni
Okazuje się, że nie ma innych niezmienników izomorfizmów. Wszystkie przestrzenie
-wymiarowe nad ciałem
są izomorficzne, tj. izomorficzne z przestrzenią współrzędnych
Konsekwencją tego twierdzenia jest możliwość badania przestrzeni liniowych skończonego wymiaru za pomocą metod właściwych przestrzeniom współrzędnych, znajdując uprzednio izomorfizm między tymi przestrzeniami.
Izomorfizmy między dowolnymi przestrzeniami liniowymi wyznaczone jednoznacznie są tylko w dwóch przypadkach szczególnych: gdy lub gdy
są jednowymiarowymi przestrzeniami nad ciałem dwuelementowym. Niekiedy między przestrzeniami liniowymi istnieją izomorfizmy niezależne od jakichkolwiek wyborów (np. wyborów baz). O takich izomorfizmach mówi się, że są kanoniczne bądź naturalne. Przykładem izomorfizmu kanonicznego przestrzeni będących iloczynami tensorowymi przestrzeni, odpowiednio
i
oraz
i
jest odwzorowanie
dla
Przestrzenie liniowe nad ustalonym ciałem wraz z przekształceniami liniowymi są kategorią abelową.
Iloczyn przestrzeni liniowych
Jeśli są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem
to w iloczynie kartezjańskim
można wprowadzić strukturę przestrzeni liniowej, definiując działania dodawania wektorów i mnożenia wektora przez skalar w następujący sposób:
dla
Analogicznie określa się iloczyn przestrzeni
Dodatkowe struktury
Przestrzeń liniowa jest wzbogacana o dodatkowe struktury.
Przestrzeń liniowa z topologią
Definiuje się dodatkowo topologię w przestrzeni liniowej. W szczególności otrzyma się przestrzeń liniowo-topologiczną, jeśli działania dodawania wektorów i mnożenie przez skalar są ciągłe. Topologia określona na przestrzeni liniowej umożliwia wprowadzenie struktury jednostajnej. Jeśli przestrzeń ma nieskończony wymiar, to można na niej określić więcej niż jedną nierównoważną normę.
Przestrzeń unormowana
Przestrzeń unormowana to przestrzeń liniowa nad ciałem lub
z dodatkowo zdefiniowaną normą, która określa długość wektorów.
Przestrzeń unitarna
Przestrzeń unitarna (prehilbertowska) to przestrzeń liniowa z dodatkowo zdefiniowanym iloczynem skalarnym dla wektorów.
Przestrzeń Banacha / przestrzeń Hilberta
Przestrzeń unormowana / unitarna[b], zupełna ze względu na metrykę generowaną przez normę/normę pochodzącą od iloczynu skalarnego to przestrzeń Banacha/przestrzeń Hilberta.Np. w mechanice kwantowej wektor stanu układu fizycznego definiuje się jako wektor w przestrzeni Hilberta.
Przestrzenie liniowo-topologiczne
Wszystkie powyższe przestrzenie są szczególnymi rodzajami przestrzeni liniowo-topologicznych, to znaczy przestrzeni liniowych (ciałem liczb R lub C) wyposażonych w topologię[c] zgodną z jej strukturą liniową, czyli taką, w której dodawanie i mnożenie przez skalar są ciągłe[d].
Szerszą klasyfikację tych przestrzeni omówiono w artykule przestrzenie liniowo-topologiczne. W przestrzeniach tych wprowadza się pojęcie zbieżności (za pomocą topologii, metryki, normy), oraz rozważa się sumę nieskończonej liczby wektorów (tzw. szeregi).
Algebra nad ciałem
Algebra nad ciałem to przestrzeń liniowa z dodatkowym działaniem dwuliniowym określającym mnożenie dwóch wektorów.
Uporządkowana przestrzeń liniowa
Uporządkowana przestrzeń liniowa to przestrzeń liniowa z wprowadzonym w sposób zgodny ze strukturą przestrzeni porządkiem częściowym wektorów.
Uogólnienia
Z abstrakcyjnego punktu widzenia przestrzenie liniowe są modułami nad ustalonym ciałem Dużą część algebry liniowej można uprawiać, opierając się wyłącznie na tej strukturze. Częsta praktyka utożsamiania
oraz
w przestrzeniach liniowych prowadzi do pojęcia
bimodułu. W ogólności moduły nie muszą mieć baz; te, które je mają (włączając w to wszystkie przestrzenie liniowe), nazywa się modułami wolnymi.
Rodzina przestrzeni liniowych sparametryzowana w sposób ciągły za pomocą związanej z nią przestrzeni topologicznej nazywa się wiązką wektorową.
Przestrzeń afiniczna jest zbiorem z przechodnim działaniem przestrzeni liniowej na sobie. Warto zauważyć, że przestrzeń liniowa jest przestrzenią afiniczną nad sobą przez odwzorowanie strukturalne
Alternatywny zestaw aksjomatów
Aksjomaty 3. i 4. można zastąpić następującym aksjomatem 9.:
- Dla dowolnych
zachodzi
Poniższy dowód równoważności pochodzi z A Note on the Independence of the Axioms for a Vector Space A. J. van der Poortena.
Przy założeniu aksjomatów 1. i 2. oraz 5.–9. mamy
oraz
skąd wynika, że jest elementem neutralnym i
jest elementem przeciwnym do
Natomiast przy założeniu aksjomatów 1.–8. jest
A więc w szczególności dla dowolnego
a zatem zachodzi 9.
Zobacz też
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
- H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.
- W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.
Linki zewnętrzne
- Eric W. Weisstein , Vector Space, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-10-06].
Vector space (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].