Powinowactwo osiowe
Powinowactwo osiowe – rodzaj przekształcenia afinicznego na płaszczyźnie.
Definicja
Powinowactwo osiowe o osi
jest to takie przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie, w którym prosta
jest prostą punktów stałych tego przekształcenia.
Równoważna definicja: Odwzorowanie geometryczne na płaszczyźnie nazywamy powinowactwem osiowym o osi
jeżeli każda prosta nierównoległa do prostej
i jej obraz pokrywają się lub przecinają się w punkcie leżącym na osi
Wektor powinowactwa jest to uporządkowana para punktów nie leżąca na osi dowolny punkt
i jego obraz punkt
Kierunek powinowactwa jest zbiór wszystkich prostych równoległych do wektora powinowactwa.
Stosunek powinowactwa jest to liczba spełniająca warunek:
gdzie punkty
i
są rzutami prostokątnymi punktu
i jego obrazu
na oś
Własności
- Dla dowolnych punktów
i
niebędących punktami stałymi powinowactwa osiowego
proste
i
są równoległe.
- Jeśli wektor powinowactwa jest zerowy
to powinowactwo osiowe staje się przekształceniem tożsamościowym.
- Jedynymi punktami stałymi w powinowactwie osiowym różnym od tożsamościowego są punkty osi powinowactwa
- Jedynymi prostymi stałymi powinowactwa osiowego nietożsamościowego jest oś powinowactwa
i wszystkie proste równoległe do kierunku powinowactwa.
- Powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa
i wektor powinowactwa.
- Powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa
kierunek powinowactwa oraz stosunek powinowactwa
różny od 1.
Niezmienniki
- stosunek długości równoległych odcinków
- stosunek podziału wektora
- stosunek pól figur
Fakty
Można udowodnić, że każde przekształcenie afiniczne daje się przedstawić jako złożenie pewnego powinowactwa osiowego i pewnego podobieństwa.
Rodzaje powinowactwa osiowego:
- powinowactwo prostokątne – kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi powinowactwa,
- powinowactwo ścinające (ścięcie) – kierunek powinowactwa jest równoległy do osi powinowactwa,
- symetria skośna – środek wektora powinowactwa leży na osi powinowactwa,
- symetria osiowa – kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi i środek wektora leży na osi.
Każde przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie jest powinowactwem osiowym lub złożeniem co najwyżej trzech powinowactw osiowych. Z tego wynika, że powinowactwa osiowe generują grupę przekształceń afinicznych.
Zobacz też
Bibliografia
- Jerzy Bednarczuk: Urok przekształceń afinicznych. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1978.