Podzbiór

Niech ${\displaystyle A,B}$ będą zbiorami. Jeżeli każdy element ${\displaystyle x\in A}$ jest jednocześnie elementem ${\displaystyle B,}$ to zbiór ${\displaystyle A}$ nazywa się podzbiorem zbioru ${\displaystyle B}$ ^[2][3][4]. W zapisie logicznym:

${\displaystyle A\subseteq B\,\iff \forall _{x\in A}\ x\in B,}$

Jeżeli ${\displaystyle A}$ jest podzbiorem ${\displaystyle B,}$ to sam zbiór ${\displaystyle B}$ nazywa się nadzbiorem zbioru ${\displaystyle A}$ ^[3] i oznacza ${\displaystyle B\supseteq A.}$

Jeżeli każdy element zbioru ${\displaystyle A}$ należy do ${\displaystyle B}$ i jednocześnie każdy element zbioru ${\displaystyle B}$ należy do ${\displaystyle A,}$ czyli ${\displaystyle A\subseteq B}$ oraz ${\displaystyle B\subseteq A}$ to ${\displaystyle A=B}$ i dla zaznaczenia tego faktu taki podzbiór ${\displaystyle A}$ zbioru ${\displaystyle B}$ nazywa się niewłaściwym. Zatem cały zbiór ${\displaystyle B}$ jest swoim podzbiorem niewłaściwym, a więc ${\displaystyle B\subseteq B.}$ W przeciwnym wypadku, czyli gdy ${\displaystyle A\subseteq B}$ oraz ${\displaystyle A\neq B,}$ zbiór ${\displaystyle A}$ nazywa się podzbiorem właściwym zbioru ${\displaystyle B}$ ^[3] i oznacza ${\displaystyle A\subsetneq B.}$ Podobnie ma się rzecz z nadzbiorami.

Do oznaczenia podzbioru bądź nadzbioru niekiedy wykorzystuje się jedynie symbole ${\displaystyle \subset }$ ^[5] oraz ${\displaystyle \supset ,}$ a bycie podzbiorem (nadzbiorem) właściwym jest wtedy zaznaczane obok. Występuje to m.in. w starszych pozycjach, np. w podręcznikach Kuratowskiego^[2][4] i Rasiowej^[3]. Z czasem jednak zaczęto korzystać ze znaków ${\displaystyle \subseteq }$ i ${\displaystyle \supseteq }$ na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów, również niewłaściwych (z połączenia poprzednich znaków ze znakiem równości), pozostawiając poprzednie symbole dla przypadków właściwych^[a][6][7].

Część autorów przyjęła nową konwencję, inni pozostali przy dotychczasowej. W wyniku tego znaczenie symboli ${\displaystyle \subset }$ i ${\displaystyle \supset }$ stało się nieprecyzyjne. Z czasem wprowadzono symbole ${\displaystyle \subsetneq }$ i ${\displaystyle \supsetneq }$ na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów właściwych (połączenie ze znakiem nierówności), które jednoznacznie określają podzbiory i nadzbiory właściwe. W celu uniknięcia wątpliwości w artykule tym konsekwentnie stosowane są symbole zawierające znaki równości i nierówności.

Dla dowolnego zbioru ${\displaystyle K}$ prawdziwe jest zdanie:

• zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru^[8][9] (element najmniejszy),

  ${\displaystyle \varnothing \subseteq K.}$

Zbiór pusty jest podzbiorem właściwym każdego zbioru oprócz siebie.

Poza tym dla dowolnych zbiorów ${\displaystyle K,L,M}$ zachodzą następujące fakty:

• dowolny zbiór jest swoim własnym podzbiorem (zwrotność),

  ${\displaystyle K\subseteq K}$ ^[8][4],

• zbiory będące swoimi podzbiorami i nadzbiorami są równe^[8][2] (antysymetria),

  ${\displaystyle K\subseteq L\wedge L\subseteq K\Rightarrow K=L;}$

• podzbiór podzbioru danego zbioru jest podzbiorem tego zbioru (przechodniość),

  ${\displaystyle K\subseteq L\wedge L\subseteq M\Rightarrow K\subseteq M}$ ^[8][10].

Relacja ${\displaystyle \subseteq }$ jest więc relacją częściowego porządku (słabego) określoną w zbiorze wszystkich podzbiorów danego zbioru, tzw. zbiorze potęgowym^[11][12]. Nazywa się ją zawieraniem bądź inkluzją^[2][3][4]. Dlatego też dla danych zbiorów ${\displaystyle A,B}$ pozostających z sobą w relacji ${\displaystyle A\subseteq B}$ mówi się obok „${\displaystyle A}$ jest podzbiorem ${\displaystyle B}$ ”, że ${\displaystyle A}$ zawiera się bądź jest zawarty w ${\displaystyle B.}$ Analogiczne wyrażenie ${\displaystyle B\supseteq A}$ obok „${\displaystyle B}$ jest nadzbiorem ${\displaystyle A}$ ” czyta się ${\displaystyle B}$ zawiera ${\displaystyle A.}$

Relacja ${\displaystyle \supseteq }$ ma analogiczne własności (ma element największy zamiast najmniejszego, jest nim również zbiór pusty), a sama nie doczekała się własnej nazwy i również nosi nieściśle nazwę inkluzji bądź zawierania^[b]. Sposób czytania tych relacji również jest wymienny i zależy od czytelnika, choć zwykle stosuje się wyżej opisany.

Podobnie rzecz ma się z relacjami ${\displaystyle \subsetneq }$ oraz ${\displaystyle \supsetneq ,}$ które niekiedy czyta się „zawiera się całkowicie (w całości) w” i „jest zawarty całkowicie w”. Relacje te są również relacjami częściowego porządku, lecz ostrymi, mają więc nieco inne własności^[c]; dla dowolnych zbiorów ${\displaystyle K,L,M{:}}$

• żaden zbiór nie jest swoim ścisłym nadzbiorem (przeciwzwrotność),

  ${\displaystyle \lnot (K\subsetneq K),}$

• podzbiór właściwy podzbioru właściwego danego zbioru jest podzbiorem właściwym tego zbioru (przechodniość),

  ${\displaystyle K\subsetneq L\wedge L\subsetneq M\Rightarrow K\subsetneq M.}$

Z tych dwóch własności wynika też trzecia:

• podzbiór właściwy zbioru nie może być jego nadzbiorem właściwym (przeciwsymetria),

  ${\displaystyle K\subsetneq L\Rightarrow \lnot (L\subsetneq K).}$

Warto zauważyć, że z własności drugiej i trzeciej wynika pierwsza.

• zbiór ${\displaystyle \{1,3,4\}}$ jest podzbiorem (właściwym) zbioru ${\displaystyle \{1,2,3,4\},}$
• zbiór ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$ zawiera się w ${\displaystyle \{1,2,3,4\},}$
• zbiór ${\displaystyle \{1,2,4,5\}}$ nie jest podzbiorem zbioru ${\displaystyle \{1,2,3,4\},}$
• zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem (właściwym) zbioru liczb całkowitych, ale zbiór liczb całkowitych nie jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych,
• zbiór liczb rzeczywistych jest nadzbiorem (właściwym) zbioru liczb wymiernych,
• zbiór kwadratów jest całkowicie zawarty w zbiorze rombów, zawiera się również w zbiorze prostokątów, jednakże zbiór rombów nie jest podzbiorem zbioru prostokątów.

• teoria mnogości
• zanurzenie (matematyka)

• Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7. Brak numerów stron w książce
• Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, seria: Monografie matematyczne, t. 27. OCLC 250182901. [dostęp 2016-09-23].
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 9. ISBN 83-01-01372-9.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
• Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.
• Jerzy Tiuryn: Wstęp do teorii mnogości i logiki. Warszawa: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Uniwersytet Warszawski, 1998.