Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, podstawowe twierdzenie analizy[1], twierdzenie Newtona-Leibniza[2][3] – twierdzenie mówiące o tym, że podstawowe operacje rachunku różniczkowego i całkowego – różniczkowanie i całkowanie – są operacjami odwrotnymi. Dokładniej, jeżeli dana jest funkcja ciągła to pochodna jej funkcji górnej granicy całkowania jest równa Bezpośrednią konsekwencją twierdzenia jest możliwość wykorzystania funkcji pierwotnej do obliczania całki oznaczonej danej funkcji.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Isaac_Barrow.jpg/220px-Isaac_Barrow.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/25/James_Gregory.jpeg/220px-James_Gregory.jpeg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Sir_Isaac_Newton_by_Sir_Godfrey_Kneller%2C_Bt.jpg/220px-Sir_Isaac_Newton_by_Sir_Godfrey_Kneller%2C_Bt.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg/220px-Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg)
Prawdopodobnie twierdzenie to znał już nauczyciel Isaaca Newtona, Isaac Barrow (1630–1677). Pierwszy znany dowód przypisywany jest szkockiemu matematykowi Jamesowi Gregory’emu (1638–1675).
Twierdzenie
Niech będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych, całkowalną w sensie Riemanna w przedziale
Wówczas:
(1) Funkcja jest całkowalna na każdym przedziale
dla
i odwzorowanie
dane wzorem
jest ciągłe w przedziale Jeżeli ponadto
jest ciągła w pewnym punkcie
to funkcja
jest różniczkowalna w
oraz
(2) Jeżeli jest funkcją ciągłą na
i różniczkowalną na
oraz
dla każdego
to
innymi słowy, zachodzi wzór na całkę Leibnitza-Newtona
oprócz tego na
Dowód
(1) Wykażemy, że jeśli jest ciągła na
to funkcja
dana wzorem
jest różniczkowalna w każdym punkcie odcinka Niech
i
będą tak dobrane, by leżały w przedziale
Wówczas
i
Odejmując stronami, otrzymujemy
Z własności całki oznaczonej wynika, że
skąd mamy natychmiast
Na mocy twierdzenia o wartości średniej dla rachunku całkowego istnieje takie, że
Stąd
a po podzieleniu obu stron przez
Jak widać, wyrażenie to jest ilorazem różnicowym funkcji w punkcie
Przechodząc po obu stronach do granicy z
otrzymujemy
Zauważmy, że wyrażenie po lewej stronie jest definicją pochodnej funkcji w punkcie
Ponieważ jasne jest, że gdy
to
W konsekwencji,
Ponieważ funkcja jest ciągła w punkcie
więc granica po prawej stronie równa jest wartości funkcji w punkcie
Stąd
i dowód jest zakończony.
Powyższy dowód pokazuje różniczkowalność funkcji w punkcie
o ile funkcja podcałkowa
jest ciągła przynajmniej na pewnym otoczeniu punktu
Bez tego założenia nie możemy powoływać się na twierdzenia o wartości średniej dla rachunku całkowego. Dowód w pełnej ogólności może być przeprowadzony przy użyciu definicji całki Riemanna i sum Riemanna.
(2) Zauważmy najpierw, że jeśli wiemy, że funkcja jest ciągła, to możemy zastosować pierwszą część twierdzenia. Ale w ogólnym przypadku funkcja
może być nieciągła w wielu punktach i nie mamy podstaw aby twierdzić, że funkcja
jest wszędzie różniczkowalna. Przeprowadzimy więc dowód, odwołując się bezpośrednio do definicji całki Riemanna.
Wykażemy, że (co wystarczy, bo możemy zastąpić
przez dowolny
).
Niech Ustalmy na pewien czas dodatnią liczbę
Z definicji całki Riemanna widzimy, że możemy wybrać podział z punktami pośrednimi
odcinka
taki że dla każdego podziału
rozdrabniającego
mamy
Następnie wybierzmy podział rozdrabniający
i taki, że oznaczając
oraz
mamy
- (a)
oraz
- (b) jeśli
to
Wybór podziału jest możliwy, bo aby zapewnić warunek (a) wystarczy dobrać
(dla
) dostatecznie blisko siebie (pamiętajmy, że
jest ciągła), a aby zapewnić warunek (b) wystarczy skorzystać z twierdzenia Lagrange’a. Następnie zauważmy, że
Stąd widzimy, że
Tak więc pokazaliśmy, że dla dowolnej dodatniej liczby zachodzi nierówność
Stąd wnioskujemy, że
co należało udowodnić.
Przykłady
- Jeżeli funkcja
określona jest w przedziale [-1,1] wzorem:
to mimo iż jest ona nieciągła w punkcie 0, funkcja
ma pochodną w punkcie 0, lecz jest ona równa 1.
- Oblicz pochodną funkcji
Na mocy twierdzenia podstawowego mamy natychmiast co można również sprawdzić bezpośrednio, wyliczając całkę oznaczoną.
- Oblicz pochodną funkcji
Zauważmy, że gdzie
a
a zatem z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej mamy
Ponieważ na mocy twierdzenia podstawowego otrzymujemy
co również można sprawdzić, obliczając explicite całkę definiującą
Uogólnienia
Twierdzenie podstawowe prawdziwe jest bez zmian również, gdy założymy całkowalność funkcji w sensie Lebesgue’a.
Lebesgue udowodnił kilka faktów będących wzmocnieniem omawianego twierdzenia. Mianowicie, jeżeli funkcja jest całkowalna w sensie Lebesgue’a na przedziale
to jej pierwotna
ma pochodną w tym przedziale prawie wszędzie równą
Na odwrót, jeżeli funkcja
jest różniczkowalna w przedziale
a jej pochodna
jest ograniczona w przedziale
to
jest całkowalna w sensie Lebesgue’a i prawdziwy jest wzór:
Istnieje też wersja twierdzenia dla funkcji zmiennej zespolonej: jeżeli jest otwartym podzbiorem zbioru liczb zespolonych, a
jest funkcją, która ma holomorficzną funkcję pierwotną
na
to dla dowolnej krzywej
całka krzywoliniowa
W końcu, podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego można uogólnić także na całki krzywoliniowe i powierzchniowe na rozmaitościach. Najdalej idącym twierdzeniem w tym kierunku jest twierdzenie Stokesa.
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
- Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. XVI. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1979, s. 288–290.
- Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. trzecie. T. 2. Warszawa: PWN, 1965, s. 99–100.