Pierścień zbiorów – niepusta rodzina zbiorów zamknięta ze względu na przecięcia i różnicę symetryczną , tzn. jeżeli dla dowolnego A , B ∈ R {\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}
A ∩ B ∈ R , {\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {R}},} A △ B ∈ R , {\displaystyle A\triangle B\in {\mathcal {R}},} gdzie △ {\displaystyle \triangle } różnicę symetryczną , tj.
A △ B = ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A ) . {\displaystyle A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A).} Równoważnie można wymagać, aby z każdymi dwoma zbiorami A , B {\displaystyle A,B} A ∪ B {\displaystyle A\cup B} A ∖ B . {\displaystyle A\setminus B.}
Własności Pierścień zbiorów jest pierścieniem w algebraicznym tego słowa znaczeniu (możliwe, że bez jedynki ). Przekrój jest rozdzielny względem różnicy symetrycznej:
A ∩ ( B △ C ) = ( A ∩ B ) △ ( A ∩ C ) {\displaystyle A\cap (B\triangle C)=(A\cap B)\triangle (A\cap C)} Zbiór pusty jest elementem neutralnym △ , {\displaystyle \triangle ,} suma wszystkich zbiorów, o ile należy do pierścienia, jest elementem neutralnym ∩ , {\displaystyle \cap ,} R {\displaystyle {\mathcal {R}}} pierścień z jedynką .
Dla danego zbioru X {\displaystyle X} zbiór potęgowy tworzy dyskretny pierścień zbiorów, zaś zbiór { ∅ , X } {\displaystyle \{\varnothing ,X\}} ciało zbiorów , a zatem dowolna σ-algebra jest również pierścieniem zbiorów.
Zobacz też 
