Niezależne zmienne losowe o jednakowych rozkładach

Załóżmy, że zmienne losowe ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ przyjmują wartości dla ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ . Niech ${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}$ oraz ${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (Y\leq y)}$ będą dystrybuantami ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle Y}$ . Oznaczmy przez ${\displaystyle F_{X,Y}(x,y)=\operatorname {P} (X\leq x\land Y\leq y)}$ ich wspólną dystrybuantę.

Dwie zmienne losowe ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ mają jednakowe rozkłady wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle F_{X}(x)=F_{Y}(x)\,\forall x\in I}$ .

Dwie zmienne losowe ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y)\,\forall x,y\in I}$ .

Dwie zmienne losowe ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ są niezależne i mają jednakowe rozkłady wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle {\begin{aligned}&F_{X}(x)=F_{Y}(x)\,&\forall x\in I&\quad {\text{oraz}}\\&F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y)\,&\forall x,y\in I&\end{aligned}}}$ .

Powyższą definicję można rozszerzyć na więcej niż dwie zmienne losowe: ${\displaystyle n}$ zmiennych losowych ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ jest niezależnych i ma jednakowy rozkład wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle {\begin{aligned}&F_{X_{1}}(x)=F_{X_{k}}(x)\,&\forall k\in \{1,\ldots ,n\}~{\text{i}}~\forall x\in I&\quad {\text{oraz}}\\&F_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=F_{X_{1}}(x_{1})\cdot \ldots \cdot F_{X_{n}}(x_{n})\,&\forall x_{1},\ldots ,x_{n}\in I&\end{aligned}}}$ ,

gdzie ${\displaystyle F_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\operatorname {P} (X_{1}\leq x_{1}\land \ldots \land X_{n}\leq x_{n})}$ jest wspólną dystrybuantą ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ .