Wynik ten został podany przez Gaussa, a udowodniony, z małymi usterkami, przez Kurta Heegnera w 1952[3]. Alan Baker i Harold Stark niezależnie udowodnili ten wynik w 1966 (Baker opublikował swój dowód pod koniec 1966, a Stark na początku 1967[4]). Później Stark wskazał, że luka w dowodzie Heegnera była niewielka[5].
który daje różne liczby pierwsze dla jest związany z liczbą Heegnera
Formuła Eulera dla przyjmującego wartości jest równoważna z
dla przyjmującego wartości Rabinowitz[6] udowodnił, że
daje liczby pierwsze dla wtedy i tylko wtedy, gdy ich wyróżnik jest równy ujemnej liczbie Heegnera.
Zauważmy, że dla mamy więc jest największe. 1, 2 i 3 nie są w wymaganej postaci, więc liczby Heegnera, które zadziałają to: dając funkcje w postaci Eulera generujące liczby pierwsze dla te ostatnie liczby zostały przez François Le Lionnaisa nazwane „szczęśliwymi” liczbami Eulera[7].
Liczby niemal całkowite i stała Ramanujana
Stała Ramanujana jest liczbą przestępną która jest niemal całkowita, to znaczy jest bardzo „bliska” liczbie całkowitej:
Zwięźle ujmując jest całkowite dla będącego liczbą Heegnera i poprzez formę modularną
Jeśli jest kwadratowo niewymierne, wtedy -niezmiennik jest liczbą algebraiczną stopnia liczba klas i minimalny (unormowany) wielomian, który ją spełnia jest zwany wielomianem klasy Hilberta. Zatem jeśli urojone rozwinięcie kwadratowe ma liczbę klas równą 1 (więc jest liczbą Heegnera) -niezmiennik jest liczbą całkowitą.
Współczynniki asymptotycznie rosną jak a najniższe współczynniki rosną dużo wolniej niż więc dla jest bardzo dobrze aproksymowane przez pierwsze dwa wyrażenia. Podstawiając otrzymujemy lub równoważne Teraz więc
lub
gdzie wyrażenie liniowe błędu jest
co wyjaśnia dlaczego jest w przybliżeniu liczbą całkowitą.
Formuły Pi
Algorytm braci Davida i Gregory’ego Chudnovsky’ch odkryty w 1987
korzysta z faktu, że
Inne liczby Heegnera
Dla czterech największych liczb Heegnera aproksymacje[a] są następujące:
Alternatywnie
gdzie przyczyną występowania kwadratów są pewne szeregi Einsteina. Dla liczb Heegnera nie otrzymuje się liczb niemal całkowitych; nawet nie jest osobliwe. Całkowite -niezmienniki są wysoce rozkładalne, co wynika z postaci Czynnikami są:
Te liczby przestępne, dodatkowo blisko aproksymowane przez liczby całkowite (które są liczbami algebraicznymi stopnia 1), mogą być również blisko aproksymowane przez liczby algebraiczne stopnia 3[11]:
Pierwiastki trzeciego stopnia można dokładnie wyznaczyć poprzez ilorazy funkcji eta Dedekinda pewnej funkcji modularnej z udziałem pierwiastka stopnia 24, co wyjaśnia występowanie 24 w aproksymacji. Dodatkowo mogą być blisko aproksymowane przez liczby algebraiczne 4 stopnia[12].
Zauważmy ponowne pojawienie się liczb całkowitych oraz fakt, że
z odpowiednimi potęgami ułamkowymi są właśnie -niezmiennikami. Również dla liczb algebraicznych stopnia 6
gdzie są dane przez odpowiednie pierwiastki równania szóstego stopnia
z ponownie pojawiającymi się -niezmiennikami. Równania szóstego stopnia są nie tylko algebraiczne, ale są też rozwiązalne w pierwiastkach, ponieważ rozkładają się na dwa równania sześcienne nad rozszerzeniem (z pierwszym równaniem rozkładającym się dalej na dwa równania kwadratowe). Te aproksymacje algebraiczne mogą być dokładnie wyrażone w wyrażeniach z ilorazami Dedekinda. Dla przykładu niech wtedy
gdzie ilorazy są podanymi powyżej liczbami algebraicznymi.
Kolejne liczby pierwsze
Dla danej liczby pierwszej jeśli obliczymy dla (to jest wystarczające, bo ), to otrzymamy kolejne liczby złożone, następujące po kolejnych liczbach pierwszych, wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą Heegnera[13].
François Le Lionnais: Les nombres remarquables. Paryż: Hermann, 1983. ISBN 978-2705614072. (fr.).
Georg Rabinowitz: Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern. W: Proceedings of the Fifth International Congress of Mathematicians. Ernest William Hobson, Augustus Edward Hough Love. T. 1. Cambridge: Cambridge University Press, 1913. OCLC1401628. (niem.).
Harold M. Stark: The Origin of the „Stark” conjectures. W: Arithmetic of L-functions. Edytorzy Cristian Popescu, Karl Rubin i Alice Silverberg. Providence: American Mathematical Society, 2011, seria: IAS/Park City mathematics series. ISBN 978-0-8218-5320-7. (ang.).