Jędrna rodzina miar
Jędrność (ciasność) (ang. tight) – pojęcie teorii miary formalizujące intuicyjną własność zbioru miar, które nie „uciekają do nieskończoności”. Twierdzenie charakteryzujące jędrne rodziny rozkładów nazywane jest twierdzeniem Prochorowa.
Definicja
Niech będzie przestrzenią topologiczną, i niech
będzie σ-algebrą na
zawierającą topologię
(czyli każdy podzbiór otwarty w
jest mierzalny,
może być σ-algebrą borelowską na
). Niech
będzie rodziną miar określonych na
Rodzinę nazywa się jędrną (bądź ciasną), jeżeli dla dowolnego
istnieje zwarty podzbiór
przestrzeni
że dla wszystkich miar
zachodzi
Często rozpatrywanymi miarami są miary probabilistyczne, wtedy ostatnia część może być równoważnie przedstawiona jako
Przykłady
Przestrzenie zwarte
Jeżeli jest przestrzenią zwartą, to każda rodzina miar probabilistycznych na
jest jędrna.
Rodzina mas punktowych
Niech dana będzie prosta rzeczywista z topologią naturalną (euklidesową).Dla
niech
oznacza miarę Diraca skupioną w
Wówczas rodzina
nie jest jędrna, ponieważ zwartymi podzbiorami są te i tylko te, które są domknięte i ograniczone, a każdy taki zbiór, ponieważ jest ograniczony, jest
-miary zero dla dostatecznie dużych
Z drugiej strony, rodzina
jest ciasna: przedział zwarty będzie pełnił rolę
dla dowolnego
W ogólności rodzina miar delt Diraca na
jest jędrna wtedy i tylko wtedy, gdy rodzina ich nośników jest ograniczona.
Rodzina miar gaussowskich
Niech dana będzie -wymiarowa przestrzeń euklidesowa
ze standardową topologią i σ-algebrą zbiorów borelowskich oraz rodzina miar gaussowskich
gdzie zmienna losowa o rozkładzie ma wartość oczekiwaną
oraz wariancję
Wtedy rodzina
jest jędrna wtedy i tylko wtedy, gdy obie rodziny
oraz
są ograniczone.
- Analiza przykładu w przypadku jednowymiarowym.
Niech będą takie, że
oraz
dla wszystkich
Niech będzie rozkładem normalnym ze średnią
oraz odchyleniem standardowym
Wykażemy, że rodzina miar
jest jędrna.
Niech będzie dane Dla
oraz
niech
będzie dystrybuantą rozkładu normalnego
i niech
Z własności rozkładu normalnego wiemy, że:
- możemy znaleźć
takie, że
oraz
dla wszystkich
Połóżmy
oraz
Na mocy naszych założeń o mamy, że dla
oraz
Stąd
oraz
Teraz, dla każdego mamy
a zbiór jest zwarty jako domknięty i ograniczony przedział prostej rzeczywistej, więc rodzina rozkładów
jest jędrna.
Jędrność a zbieżność
Jędrność jest często warunkiem koniecznym do udowodnienia słabej zbieżności ciągu miar probabilistycznych, szczególnie, przestrzeń mierzalna jest nieskończonego wymiaru. Zobacz
- jędrność w klasycznej przestrzeni Wienera,
- jędrność w przestrzeni Skorohoda,
- rozkład skończeniewymiarowy,
- twierdzenie Prochorowa.
Jędrność wykładnicza
Uogólnieniem jędrności jest tzw. jędrność wykładnicza, która znalazła swoje zastosowania w teorii wielkich odchyleń. Rodzinę miar probabilistycznych na przestrzeni topologicznej Hausdorffa
nazywa się jędrną (ciasną) wykładniczo, jeśli dla dowolnego
istnieje podzbiór zwarty
przestrzeni
taki, że
Bibliografia
- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004.
- Patrick Billingsley: Probability and Measure. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1995. ISBN 0-471-00710-2.
- Patrick Billingsley: Convergence of Probability Measures. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1999. ISBN 0-471-19745-9.